Inversa matricei $$A(2,-1)$$ în inelul $$M$$ este:

$$A\left(\dfrac{2}{5},\ \dfrac{1}{5}\right)$$

$$A\left(\dfrac{2}{5},\ -\dfrac{1}{5}\right)$$

$$A\left(\dfrac{1}{2},\ -1\right)$$

Ce trebuie să dea J² ca structura să fie corp?

Un multiplu al lui I₂ cu factor negativ, de pildă J²=-I₂. Atunci determinantul elementului generic ia forma a²+b², care se anulează numai pentru a=b=0, deci fiecare element nenul are invers. Pentru J²=I₂ apar divizori ai lui zero.

Ce este rețeta aI2 plus bJ la matrice?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Inele de matrice remarcabile

Este modul rapid de a citi structura: orice element al mulțimii se pune sub forma $a I_{2} + b J$ , apoi se ridică $J$ la pătrat. Când rezultatul iese un multiplu al matricei unitate, $J^{2} = d I_{2}$ , calculele decurg întocmai ca la numerele $a + b d$ . Structura este corp dacă determinantul general se anulează doar în cazul $a = b = 0$ .

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Mulțimea $M$ a matricelor $A (a, b) = (a - b b a)$ , cu $a, b \in R$ , este parte stabilă față de adunare și față de înmulțire, iar produsul respectă regula $A (a, b) A (c, d) = A (a c - b d, a d + b c)$ — exact regula de înmulțire a numerelor complexe. Funcția $φ (a + bi) = A (a, b)$ este izomorfism de inele de la $C$ la $M$ : se verifică cele două condiții cu operațiile și, obligatoriu, $φ (1) = I_{2}$ . Prin izomorfism se transportă totul: $det A (a, b) = a^{2} + b^{2}$ este pătratul modulului, transpusa corespunde conjugatului, iar ecuațiile $X^{n} = A$ se rezolvă trecând la ecuația $z^{n} = φ^{- 1} (A)$ și la rădăcinile de ordinul $n$ ale unui număr complex. Deși $M_{2} (R)$ este necomutativ și are divizori ai lui zero, $M$ este corp comutativ. Pentru orice mulțime de matrice funcționează rețeta $a I_{2} + b J$ : scrii elementul generic sub această formă și calculezi $J^{2}$ . Dacă $J^{2} = d I_{2}$ , mulțimea se comportă ca numerele $a + b d$ , iar structura este corp exact atunci când determinantul se anulează numai pentru $a = b = 0$ .

De reținut

$A (a, b) A (c, d) = A (a c - b d, a d + b c)$ , iar $det A (a, b) = a^{2} + b^{2}$
$φ (a + bi) = A (a, b)$ este izomorfism de inele
rețeta: scrii elementul ca $a I_{2} + b J$ și calculezi $J^{2}$

Greșeala tipică

Se spune că mulțimea matricelor de ordinul al doilea este corp, pornind de la rezultatul demonstrat pentru familia $A (a, b)$ . Concluzia privește numai acea submulțime, în timp ce inelul întreg are divizori ai lui zero.

Exerciții din această mini-lecție

În inelul $M$ al matricelor $A (a, b) = (a - b b a)$ , produsul $A (3, 2) \cdot A (1, - 4)$ este:
- a) $A (- 5, - 10)$
- b) $A (11, - 10)$
- c) $A (11, 10)$
- d) $A (3, - 8)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A (11, - 10)$

Trecem prin numere complexe: $(3 + 2 i) (1 - 4 i) = 3 - 12 i + 2 i - 8 i^{2} = 3 - 10 i + 8 = 11 - 10 i$ , deci produsul este $A (11, - 10)$ . Varianta $A (- 5, - 10)$ apare când se scrie $i^{2} = 1$ în loc de $i^{2} = - 1$ ; $A (11, 10)$ vine din greșirea semnului din colțul de jos-stânga; $A (3, - 8)$ este înmulțirea „pe componente”, care nu are nicio legătură cu produsul matricelor.
Se consideră $J = (0150)$ și mulțimea $N = {a I_{2} + b J ∣ a, b \in Q}$ . Conform rețetei $a I_{2} + b J$ , elementele lui $N$ se comportă ca numerele de forma:
- a) $a + bi$
- b) $a + b 10$
- c) $a + b - 5$
- d) $a + b 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $a + b 5$

Rețeta cere un singur calcul: $J^{2} = (0150)^{2} = 5 I_{2}$ . Cum $J^{2} = d I_{2}$ cu $d = 5$ , matricea $J$ joacă rolul lui $5$ , iar $N$ este izomorfă cu mulțimea numerelor $a + b 5$ , $a, b \in Q$ . Varianta cu $i$ ar cere $J^{2} = - I_{2}$ , cea cu $10$ ar cere $J^{2} = 10 I_{2}$ , iar $- 5$ este tot cazul $J^{2} = - 5 I_{2}$ .
Inversa matricei $A (2, - 1)$ în inelul $M$ este:
- a) $A (\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$
- b) $A (\frac{2}{5}, - \frac{1}{5})$
- c) $A (\frac{1}{2}, - 1)$
- d) $A (2, 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $A (\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$

Matricei $A (2, - 1)$ îi corespunde $z = 2 - i$ , cu $∣ z ∣^{2} = 5$ . Atunci $z^{- 1} = \frac{z ˉ}{∣ z ∣ ^{2}} = \frac{2 + i}{5}$ , deci inversa este $A (\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$ . Varianta b păstrează semnul lui $b$ neschimbat (nu se trece la conjugat), varianta c inversează elementele unul câte unul, iar varianta d dă doar conjugatul, fără împărțirea la $∣ z ∣^{2}$ .

Întrebări conexe

Ce trebuie să dea $J^{2}$ ca structura să fie corp?

Un multiplu al lui $I_{2}$ cu factor negativ, de pildă $J^{2} = - I_{2}$ . Atunci determinantul elementului generic ia forma $a^{2} + b^{2}$ , care se anulează numai pentru $a = b = 0$ , deci fiecare element nenul are invers. Pentru $J^{2} = I_{2}$ apar divizori ai lui zero.

De ce poate fi corp o mulțime inclusă într-un inel necomutativ?

Fiindcă proprietățile privesc mulțimea aleasă, nu pe cea care o cuprinde. Matricele de forma $A (a, b)$ comută între ele și au toate invers, chiar dacă $M_{2} (R)$ nu comută și are divizori ai lui zero. Concluzia se enunță întotdeauna despre submulțime.

Ce condiție se verifică în plus la izomorfismul de inele?

Egalitatea $φ (1) = I_{2}$ , alături de păstrarea celor două operații și de bijectivitate. La corespondența $φ (a + bi) = A (a, b)$ ea iese imediat, fiindcă numărului $1$ îi corespunde perechea $(1, 0)$ , adică matricea unitate. Fără acest pas, demonstrația rămâne neterminată.

Ce semn are colțul din stânga jos al produsului $A (a, b) A (c, d)$ ?

Semnul minus: rezultatul este $A (a c - b d, a d + b c)$ , deci pe locul acela stă $- (a d + b c)$ . Verificarea rapidă e că produsul trebuie să aibă din nou forma familiei, cu același număr repetat pe diagonală. O greșeală de semn se vede imediat la acest control.

Ce soluții pierzi dacă ceri soluțiile din tot inelul matricelor?

Rezolvarea prin numere complexe dă numai soluțiile din familia $A (a, b)$ . Dacă enunțul cere toate matricele de ordinul al doilea care verifică ecuația, argumentul nu este complet: pot exista soluții în afara familiei, iar acelea se caută separat.

Cum aleg matricea J pentru o mulțime dată?

Scrii un element oarecare al mulțimii, îl desfaci în parte scalară și parte cu parametru, iar coeficientul parametrului este chiar $J$ . Verifici apoi că orice element se scrie ca $a I_{2} + b J$ și calculezi $J^{2}$ , fiindcă de el atârnă toată structura.

Oamenii mai întreabă și: inele de matrice · matrice care se înmulțesc ca numerele complexe · mulțime de matrice care e corp · a I2 plus b J · izomorfism între C și un inel de matrice