Care dintre următoarele structuri nu este inel?

$$\left(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), +, \cdot\right)$$

De ce mulțimea numerelor pare $$2\mathbb{Z}$$ nu este inel, în sensul fixat în această lecție?

pentru că suma a două numere pare poate fi impară

pentru că înmulțirea nu este asociativă

Câte axiome are definiția unui inel?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Inelul: definiție și exemple

Opt: patru pentru adunare — asociativitate, comutativitate, existența lui $0$ , existența opuselor —, două pentru înmulțire — asociativitate și element unitate — și două de distributivitate, la stânga și la dreapta. Pe scurt, prima operație trebuie să dea un grup comutativ, a doua un monoid, iar cele două se leagă prin distributivitate. Când și înmulțirea comută, inelul se numește comutativ.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Inelul este o mulțime nevidă $A$ cu două legi de compoziție, astfel încât $(A, +)$ să fie grup comutativ, $(A, \cdot)$ să fie monoid, iar înmulțirea să fie distributivă față de adunare, la stânga și la dreapta. Cele opt axiome sunt A1–A4 (asociativitate, comutativitate, element nul $0$ , opuse), M1–M2 (asociativitate, element unitate $1$ ) și D1–D2. În acest curs orice inel are element unitate, iar toate inelele studiate sunt nenule, adică $1 \neq = 0$ . Când și înmulțirea e comutativă, inelul se numește comutativ.

Verificarea se face cu rețeta în trei pași: (1) parte stabilă față de ambele operații; (2) moștenirea axiomelor de calcul dintr-o structură cunoscută care conține mulțimea — singura scurtătură permisă; (3) apartenența lui $0$ , a lui $1$ și a opuselor. Inelele-etalon sunt $Z$ , $Q$ , $R$ , $C$ , $Z_{n}$ , $M_{n} (R)$ , inelul funcțiilor reale cu operații punctuale și inelele $Z [i]$ , $Z [2]$ ; dintre ele, numai $M_{n} (R)$ cu $n \geq 2$ este necomutativ. Contraexemple: $N$ nu e inel (cade A4), iar $2 Z$ nu e inel, pentru că nu conține elementul unitate.

De reținut

adunarea dă grup comutativ, înmulțirea dă monoid, plus distributivitatea de ambele părți
în acest curs orice inel are unitate, iar $1 \neq = 0$
$N$ nu e inel, fiindcă lipsesc opusele; $2 Z$ nu e inel, fiindcă lipsește $1$

Greșeala tipică

Se scrie că $(A, +)$ este grup, fără cuvântul comutativ. Comutativitatea adunării este una dintre cele opt axiome, iar omiterea ei costă puncte chiar dacă restul demonstrației e corect.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele structuri nu este inel?
- a) $(Z, +, \cdot)$
- b) $(N, +, \cdot)$
- c) $(Z_{9}, +, \cdot)$
- d) $(M_{2} (R), +, \cdot)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(N, +, \cdot)$

În $N$ cade axioma A4: numărul $2$ nu are opus, pentru că nu există niciun număr natural $y$ cu $2 + y = 0$ ; deci $(N, +)$ nu e nici măcar grup. Celelalte trei sunt inele — primul și al treilea comutative, iar inelul matricelor de ordin $2$ necomutativ, ceea ce nu-l împiedică să fie inel.
De ce mulțimea numerelor pare $2 Z$ nu este inel, în sensul fixat în această lecție?
- a) pentru că nu conține elementul unitate
- b) pentru că suma a două numere pare poate fi impară
- c) pentru că nu conține opusele
- d) pentru că înmulțirea nu este asociativă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) pentru că nu conține elementul unitate

Adunarea și înmulțirea nu ies din $2 Z$ , opusul unui număr par este par, iar toate axiomele de calcul se moștenesc din $Z$ — singurul lucru care lipsește este $1$ , care nu este par. Cum în acest curs orice inel are element unitate, structura nu se califică. Fără această convenție, $2 Z$ ar fi trecut drept inel.
Într-un inel oarecare $(A, +, \cdot)$ , expresia $(a + b)^{2}$ este egală cu:
- a) $a^{2} + 2 ab + b^{2}$
- b) $a^{2} + b^{2}$
- c) $a^{2} + ab + ba + b^{2}$
- d) $a^{2} + 2 ba + b^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a^{2} + ab + ba + b^{2}$

Desfacem parantezele cu distributivitatea, fără să schimbăm ordinea factorilor: $(a + b) (a + b) = a^{2} + ab + ba + b^{2}$ . Termenii $ab$ și $ba$ se strâng în $2 ab$ numai dacă cele două elemente comută, deci formula de gimnaziu cere un inel comutativ. La matrice ea dă un rezultat fals, ușor de verificat pe un exemplu.

Întrebări conexe

Ce trebuie verificat ca o submulțime să fie subinel?

Că diferența a două elemente rămâne în ea, că produsul lor rămâne în ea și că unitatea inelului mare îi aparține. Prima condiție înlocuiește verificarea separată a grupului aditiv, fiindcă din ea ies și elementul nul, și opusele.

Ce înseamnă că un inel este nenul?

Că elementul unitate se deosebește de elementul nul, adică $1 \neq = 0$ . Condiția pare formală, însă fără ea ar trece drept inel și mulțimea cu un singur element, unde toate axiomele se verifică banal. Inelele studiate în acest capitol sunt toate nenule.

Ce se moștenește atunci când verifici structura de inel?

Regulile de calcul: asociativitatea ambelor operații, comutativitatea adunării și distributivitatea. Dacă mulțimea studiată se află într-o structură deja cunoscută, ele nu se mai demonstrează. Rămân de arătat stabilitatea față de cele două operații și prezența lui $0$ , a lui $1$ și a opuselor.

Care este diferența dintre elementul nul și elementul unitate?

Primul, notat $0$ , este neutrul adunării; al doilea, notat $1$ , este neutrul înmulțirii. Ele joacă roluri diferite și, într-un inel nenul, sunt elemente diferite. La legile deghizate nu mai sunt numerele $0$ și $1$ , ci valorile date de formula legii.

Ce inele-etalon trebuie știute pentru examen?

Mulțimile de numere $Z$ , $Q$ , $R$ și $C$ , apoi clasele de resturi $Z_{n}$ , matricele pătratice $M_{n} (R)$ , funcțiile reale cu operații punctuale și mulțimile de tipul $Z [i]$ sau $Z [2]$ . Dintre toate, numai cel al matricelor de ordin cel puțin doi nu comută.

De ce se verifică distributivitatea în ambele sensuri?

Pentru că fără comutativitatea înmulțirii cele două egalități sunt afirmații diferite. La matrice, $a (b + c)$ și $(b + c) a$ se calculează separat, deci amândouă cer demonstrație. Când înmulțirea comută, a doua egalitate iese din prima, însă mențiunea trebuie scrisă, nu subînțeleasă.

Oamenii mai întreabă și: ce este un inel · axiomele unui inel · inel comutativ · cum arăt că o mulțime este inel · exemple de inele