În $$\mathbb{Z}_7[X]$$, produsul $$(\hat{5}X + \hat{4})(\hat{3}X + \hat{6})$$ este:

$$\widehat{15}X^2 + \widehat{42}X + \widehat{24}$$

De ce dispar termeni la înmulțirea modulo p?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Inelul polinoamelor peste un corp

Pentru că fiecare coeficient se reduce la una dintre clasele modulo $p$ , iar unele ies nule. Peste $Z_{2}$ , dublul oricărei clase este $\hat{0}$ , așa că $(X + \hat{1})^{2}$ dă $X^{2} + \hat{1}$ : termenul din mijloc are coeficientul $\hat{2} = \hat{0}$ . Calculul decurge la fel ca peste $C$ , doar că fiecare rezultat parțial se aduce între cele $p$ clase.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Pentru un corp comutativ $K$ , mulțimea $K [X]$ a polinoamelor cu coeficienți în $K$ formează un inel comutativ cu element unitate, în care polinoamele constante alcătuiesc o copie a lui $K$ . Cazurile de lucru sunt $Q [X]$ , $R [X]$ , $C [X]$ și $Z_{p} [X]$ , cu $p$ prim. Calculul peste $Z_{p}$ decurge exact ca peste $C$ , cu o singură deosebire: fiecare coeficient se reduce modulo $p$ — de aceea termeni întregi pot dispărea, ca în $(X + \hat{1})^{2} = X^{2} + \hat{1}$ peste $Z_{2}$ . Pentru polinoame nenule are loc formula gradului, $grad (f g) = grad f + grad g$ , iar demonstrația ei folosește exact un singur lucru: în $K$ nu există divizori ai lui zero. De aceea formula cade peste inele ca $Z_{4}$ sau $Z_{6}$ , unde produsul a două polinoame de gradul întâi poate avea grad mai mic. Din aceeași lipsă a divizorilor lui zero rezultă că $K [X]$ este inel integru, deci se poate simplifica: din $f g = f h$ cu $f \neq = 0$ urmează $g = h$ . În sfârșit, $U (K [X]) = K^{*}$ : singurele polinoame inversabile sunt constantele nenule, iar $X$ nu are invers.

De reținut

$grad (f g) = grad f + grad g$ peste un corp
$U (K [X]) = K^{*}$ : doar constantele nenule au invers
peste $Z_{p}$ fiecare coeficient se reduce modulo $p$

Greșeala tipică

Se lasă coeficienții nereduși, ca în $(\hat{3} X) (\hat{4} X) = 12 X^{2}$ . Peste $Z_{5} [X]$ răspunsul corect este $\hat{2} X^{2}$ , fiindcă rezultatul fiecărui coeficient se reduce modulo $5$ înainte de a fi scris.

Exerciții din această mini-lecție

În $Z_{7} [X]$ , produsul $(\hat{5} X + \hat{4}) (\hat{3} X + \hat{6})$ este:
- a) $X^{2} + \hat{2} X + \hat{3}$
- b) $X^{2} + \hat{4}$
- c) $X^{2} + \hat{3}$
- d) $15 X^{2} + 42 X + 24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $X^{2} + \hat{3}$

Înmulțim și reducem fiecare coeficient modulo $7$ : coeficientul lui $X^{2}$ este $5 \cdot 3 = 15 \equiv 1$ , coeficientul lui $X$ este $5 \cdot 6 + 4 \cdot 3 = 42 \equiv 0$ , iar termenul liber este $4 \cdot 6 = 24 \equiv 3$ . Rezultă $X^{2} + \hat{3}$ . Varianta a apare când se adună un singur produs încrucișat, varianta b dintr-o reducere greșită a lui $24$ , iar varianta d lasă coeficienții nereduși — clasele trebuie scrise întotdeauna între $\hat{0}$ și $\hat{6}$ .
În $Z_{6} [X]$ se calculează produsul $(\hat{3} X + \hat{1}) (\hat{2} X + \hat{5})$ . Gradul lui este:
- a) $1$
- b) $2$
- c) $0$
- d) produsul este polinomul nul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1$

Coeficientul lui $X^{2}$ este $3 \cdot 2 = 6 \equiv \hat{0}$ , deci termenul dominant dispare. Mai departe, coeficientul lui $X$ este $3 \cdot 5 + 1 \cdot 2 = 17 \equiv \hat{5}$ , iar termenul liber este $\hat{5}$ , deci produsul este $\hat{5} X + \hat{5}$ , de gradul întâi. Formula gradului cere ca inelul coeficienților să nu aibă divizori ai lui zero, iar $Z_{6}$ are: $\hat{3} \cdot \hat{2} = \hat{0}$ .
Care dintre polinoamele următoare este inversabil în inelul $Z_{5} [X]$ ?
- a) $X$
- b) $\hat{3}$
- c) $X + \hat{1}$
- d) $\hat{0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\hat{3}$

Într-un inel de polinoame peste un corp, $U (K [X]) = K^{*}$ : sunt inversabile exact constantele nenule. Aici $\hat{3} \cdot \hat{2} = \hat{6} = \hat{1}$ , deci $\hat{3}$ este inversabil. Polinoamele de grad cel puțin $1$ nu pot fi inversabile, pentru că gradul produsului ar fi cel puțin $1$ , iar $grad \hat{1} = 0$ ; în particular $X$ nu are invers. Polinomul nul nu este inversabil în niciun inel.

Întrebări conexe

Cât face pătratul lui $X + \hat{1}$ în inelul polinoamelor peste $Z_{2}$ ?

Iese $X^{2} + \hat{1}$ . Dezvoltarea obișnuită dă $X^{2} + \hat{2} X + \hat{1}$ , iar $\hat{2}$ este chiar $\hat{0}$ modulo $2$ , deci termenul de la mijloc dispare. Rezultatul arată că peste corpuri finite formulele cunoscute se scurtează uneori surprinzător.

Ce se întâmplă cu gradul când înmulțești cu o constantă nenulă?

Rămâne același. Peste un corp, o constantă nenulă are gradul zero, iar formula spune că gradul produsului este suma gradelor, deci nu se schimbă nimic. De aceea aducerea unui polinom la formă monică, prin înmulțirea cu inversul coeficientului dominant, nu îi atinge gradul.

De ce nu are $X$ invers în inelul polinoamelor?

Fiindcă un produs care îl are ca factor are gradul cel puțin $1$ , deci nu poate fi polinomul constant $1$ . Din formula gradului rezultă că singurele elemente inversabile sunt constantele nenule, adică $U (K [X]) = K^{*}$ .

Ce polinoame formează o copie a corpului în inelul polinoamelor?

Polinoamele constante. Adunarea și înmulțirea lor se fac exact ca în corpul coeficienților, deci mulțimea lor se comportă întocmai ca $K$ . De aceea se spune că $K$ se regăsește în $K [X]$ , iar constantele nenule sunt totodată singurele elemente inversabile.

Se poate simplifica într-o egalitate de polinoame peste un corp?

Da, atunci când factorul comun este nenul: din $f g = f h$ cu $f \neq = 0$ rezultă $g = h$ . Motivul este că $K [X]$ nu are divizori ai lui zero, ceea ce se deduce chiar din formula gradului. Peste $Z_{4} [X]$ regula cade.

De ce poate scădea gradul când aduni două polinoame de același grad?

Fiindcă termenii dominanți se pot anula între ei: la $X^{2} + X$ și $- X^{2} + 1$ suma iese de gradul întâi, nu de gradul al doilea. De aceea pentru sumă se scrie doar o margine de sus, maximul gradelor, în timp ce la produs peste un corp gradele se adună exact.

Oamenii mai întreabă și: inelul polinoamelor K de X · polinoame cu coeficienți clase de resturi · formula gradului la polinoame · polinoame inversabile · polinoame peste Z p