Se consideră $$A \in \mathcal{M}_{3,5}(\mathbb{C})$$ și $$B \in \mathcal{M}_{5,2}(\mathbb{C})$$. Produsul $$A \cdot B$$:

există și este de tipul $$3 \times 2$$

există și este de tipul $$5 \times 5$$

există și este de tipul $$2 \times 3$$

Cum se înmulțesc două matrice de ordin 2?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Înmulțirea a două matrice

Fiecare element al produsului se obține luând o linie din prima matrice și o coloană din a doua, înmulțind termen cu termen și adunând. Pentru $A = (1324)$ și $B = (5768)$ , numărul din colțul din stânga sus este $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ , iar produsul întreg este $(19432250)$ . Spre deosebire de adunare, aici nu se lucrează căsuță cu căsuță, iar ordinea factorilor contează.

Produsul $A \cdot B$ există numai dacă numărul de coloane ale lui $A$ este egal cu numărul de linii ale lui $B$ . Schematic, $(m \times n) \cdot (n \times p)$ : numerele din mijloc trebuie să coincidă, iar rezultatul primește dimensiunile „de la margini”, $m \times p$ . Numărul $n$ a fost doar lungimea sumelor și dispare.

Regula linie pe coloană: elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al produsului se obține din linia $i$ a primului factor și coloana $j$ a celui de-al doilea, înmulțite termen cu termen și adunate: $c_{ij} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{k j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{in} b_{nj} .$ Produsul nu se face element cu element, ca adunarea: fiecare element al rezultatului este o sumă de produse, iar numărul termenilor este exact numărul din mijloc. Ca să nu confunzi liniile cu coloanele, scrie întâi dimensiunile una lângă alta — controlul acesta prinde majoritatea greșelilor înainte de primul calcul.

Cazurile speciale se rețin: $I_{m} \cdot A = A \cdot I_{n} = A$ , deci matricea unitate joacă rolul numărului $1$ ; înmulțirea cu matricea nulă dă matrice nulă; iar produsul unei matrice cu o coloană de necunoscute, $A \cdot X$ , reproduce exact membrii stângi ai unui sistem de ecuații liniare. Ordinea contează: uneori $B \cdot A$ nici nu există, alteori are alte dimensiuni decât $A \cdot B$ .

De reținut

$(m \times n) \cdot (n \times p)$ dă $m \times p$
$c_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{k j}$
$I_{m} A = A I_{n} = A$

Greșeala tipică

Matricele sunt înmulțite element cu element, ca la adunare. Fiecare element al produsului este o sumă de produse, nu un singur produs, iar calculul corect pornește de la regula linie pe coloană.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $A \in M_{3, 5} (C)$ și $B \in M_{5, 2} (C)$ . Produsul $A \cdot B$ :
- a) există și este de tipul $3 \times 2$
- b) există și este de tipul $5 \times 5$
- c) există și este de tipul $2 \times 3$
- d) nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) există și este de tipul $3 \times 2$

Comparăm numerele din mijloc: $(3 \times 5) \cdot (5 \times 2)$ — ele coincid, deci produsul există. Dimensiunile rezultatului sunt cele de la margini: $3 \times 2$ . Numărul $5$ a fost doar lungimea sumelor, adică numărul de termeni ai fiecărui element.
Se consideră $A = (14 - 2 2 3 - 1)$ și $B = 2 - 3 0 51 - 4$ . Elementul de pe linia $2$ , coloana $1$ al produsului $A \cdot B$ este:
- a) $- 9$
- b) $2$
- c) $8$
- d) $26$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2$

Folosim linia $2$ din $A$ , adică $(4, 2, - 1)$ , și coloana $1$ din $B$ , adică $(2, - 3, 0)$ : $c_{21} = 4 \cdot 2 + 2 \cdot (- 3) + (- 1) \cdot 0 = 8 - 6 = 2$ . Varianta $- 9$ este $c_{12}$ (indici inversați), $8$ este $c_{11}$ , iar $26$ este $c_{22}$ .
Produsul $2 - 1 3 \cdot (10 - 2)$ este o matrice de tipul:
- a) $1 \times 1$
- b) $3 \times 1$
- c) $3 \times 3$
- d) produsul nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3 \times 3$

Primul factor este de tipul $3 \times 1$ , al doilea $1 \times 3$ : numerele din mijloc coincid, deci produsul există și are dimensiunile $3 \times 3$ . Fiecare element este o sumă cu un singur termen. În ordinea inversă s-ar fi obținut o matrice $1 \times 1$ — de aici $1 \times 1$ ca variantă greșită.

Întrebări conexe

Ce este regula linie pe coloană?

Este procedeul prin care se calculează un element al produsului: din primul factor iei linia $i$ , din al doilea coloana $j$ , le înmulțești element cu element și aduni produsele. Rezultatul se așază pe linia $i$ și coloana $j$ ale matricei produs.

Câți termeni are suma dintr-un element al produsului?

Exact atâția cât arată numărul comun dintre cele două tipuri, adică numărul de coloane ale primului factor. La produsul unei matrice $2 \times 3$ cu una $3 \times 4$ , fiecare căsuță a rezultatului adună trei produse.

Ce se obține înmulțind o matrice cu matricea nulă?

Se obține tot o matrice nulă, fiindcă fiecare sumă calculată conține numai produse cu zero. Atenție însă la tip: rezultatul ia liniile de la primul factor și coloanele de la al doilea, deci poate avea alt format decât oricare dintre ele.

Ce legătură are produsul $A \cdot X$ cu un sistem de ecuații?

Dacă $A$ ține coeficienții, iar $X$ este coloana necunoscutelor, produsul reface exact membrii din stânga ai ecuațiilor sistemului. Sistemul întreg se scrie astfel pe un singur rând, iar rezolvarea lui devine o problemă despre matrice.

Cum înmulțesc o matrice linie cu o matrice coloană?

Dacă amândouă au același număr de elemente, produsul iese o matrice cu o singură căsuță, adică practic un număr: suma produselor termen cu termen. În ordinea inversă, coloană înmulțită cu linie, rezultatul este o matrice pătratică.

Ce se întâmplă dacă numerele din mijloc nu coincid?

Produsul nu există. Scrii tipurile unul lângă altul, ca $(m \times n) \cdot (n \times p)$ , și compari valorile din mijloc; dacă diferă, operația nu se poate face, iar acesta este răspunsul corect, nu un calcul forțat.

Oamenii mai întreabă și: înmulțirea a două matrice · înmulțirea matricelor de ordin 2 · regula linie pe coloană · produsul a două matrice