În $$\mathbb{Z}_6$$ are loc egalitatea $$\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{2} \cdot \hat{5}$$. De aici rezultă că:

nu rezultă nimic: simplificarea prin $$\hat{2}$$ nu este permisă

egalitatea din enunț este falsă

Cum se înmulțesc clasele de resturi?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Înmulțirea claselor de resturi

Înmulțești reprezentanții și iei restul la împărțirea cu $n$ : $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$ . Astfel, modulo $7$ , produsul claselor lui $4$ și $3$ dă $12 = \hat{5}$ . Operația este asociativă și comutativă, cu elementul neutru $\hat{1}$ , și se distribuie față de adunare. Două lucruri se pierd însă la modul compus: apar produse nule din factori nenuli, iar simplificarea nu mai funcționează.

Înmulțirea claselor de resturi se definește prin $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$ : înmulțești reprezentanții, apoi iei restul la împărțirea cu $n$ . Și aici buna definire se demonstrează, cu trucul „adun și scad același termen”: $ab - a_{1} b_{1} = b (a - a_{1}) + a_{1} (b - b_{1})$ , deci $n$ divide diferența ori de câte ori divide diferențele reprezentanților.

Proprietățile coboară de la $Z$ prin același tipar — reprezentanți, proprietatea din $Z$ , înapoi la clase: înmulțirea claselor este asociativă și comutativă, cu elementul neutru $\hat{1}$ , deci $(Z_{n}, \cdot)$ este monoid comutativ. Tot așa se deduce și distributivitatea față de adunare, $\overset{a}{^} (\hat{b} + \overset{c}{^}) = \overset{a}{^} \hat{b} + \overset{a}{^} \overset{c}{^}$ — nu se verifică pe cazuri.

Două lucruri nu se transportă din $Z$ , iar amândouă apar la $n$ compus. Un produs de clase nenule poate fi nul: în $Z_{6}$ , $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ . Și simplificarea cade: $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{2} \cdot \hat{5}$ deși $\hat{2} \neq = \hat{5}$ , deci nu ai voie să „împarți prin $\hat{2}$ ”.

Puterile respectă $(\overset{a}{^})^{k} = a^{k}$ , ceea ce rezolvă orice întrebare de tipul „ce rest dă $a^{k}$ la împărțirea cu $n$ ”: calculezi puteri până se repetă, împarți exponentul la lungimea perioadei și folosești restul.

De reținut

$\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$
elementul neutru la înmulțire este $\hat{1}$
la modul compus apar divizori ai lui zero, iar simplificarea cade

Greșeala tipică

Se simplifică o egalitate de clase printr-un factor comun, ca la numere întregi. Simplificarea are voie numai cu o clasă inversabilă, altfel se pierd sau se adaugă soluții.

Exerciții din această mini-lecție

În $Z_{6}$ , o pereche de clase nenule al căror produs este $\hat{0}$ este:
- a) $\hat{2}$ și $\hat{5}$
- b) $\hat{3}$ și $\hat{5}$
- c) nu există o astfel de pereche
- d) $\hat{2}$ și $\hat{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\hat{2}$ și $\hat{3}$

Avem $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{6} = \hat{0}$ , deși niciun factor nu este nul. Celelalte produse sunt $\hat{2} \cdot \hat{5} = 10 = \hat{4}$ și $\hat{3} \cdot \hat{5} = 15 = \hat{3}$ . Fenomenul apare exact când $n$ este compus: factorii primi ai lui $6$ se împart între cei doi factori. În $Z_{p}$ cu $p$ prim el nu apare niciodată.
În $Z_{6}$ are loc egalitatea $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{2} \cdot \hat{5}$ . De aici rezultă că:
- a) $\hat{2} = \hat{5}$
- b) $\hat{2} = \hat{0}$
- c) nu rezultă nimic: simplificarea prin $\hat{2}$ nu este permisă
- d) egalitatea din enunț este falsă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nu rezultă nimic: simplificarea prin $\hat{2}$ nu este permisă

Ambii membri sunt $\hat{4}$ , deci egalitatea este adevărată; dar $\hat{2} \neq = \hat{5}$ , așa că simplificarea prin factor comun cade în $Z_{6}$ . Motivul este același cu cel de la produsele nule: dacă simplificarea ar fi permisă, din $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{2} \cdot \hat{0}$ am obține $\hat{3} = \hat{0}$ , fals. Simbolul de împărțire a claselor nici nu există.
Ultima cifră a numărului $2^{2027}$ este:
- a) $8$
- b) $2$
- c) $4$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $8$

Lucrăm în $Z_{10}$ , unde ultima cifră este chiar reprezentantul clasei. Puterile lui $\hat{2}$ sunt $\hat{2}, \hat{4}, \hat{8}, \hat{6}$ , apoi $\hat{2}^{5} = 32 = \hat{2}$ : perioada este $4$ . Cum $2027 = 4 \cdot 506 + 3$ , avem $\hat{2}^{2027} = \hat{2}^{3} = \hat{8}$ . Greșeala tipică este folosirea restului $0$ în loc de $3$ , sau numărarea perioadei de la $\hat{1}$ .

Întrebări conexe

Ce structură formează clasele de resturi față de înmulțire?

Un monoid comutativ: operația este asociativă, comutativă și are elementul neutru $\hat{1}$ . Grup nu este, fiindcă $\hat{0}$ nu are invers, iar la un modul compus lipsesc și alte inverse.

Ce se demonstrează la buna definire a înmulțirii claselor?

Că rezultatul nu se schimbă dacă alegi alți reprezentanți. Trucul este să aduni și să scazi același termen: $ab - a_{1} b_{1} = b (a - a_{1}) + a_{1} (b - b_{1})$ , expresie divizibilă cu $n$ ori de câte ori sunt și diferențele.

Cum calculez un produs de clase când numerele sunt mari?

Înlocuiești fiecare factor cu restul lui, înmulțești resturile și reduci din nou. Modulo $9$ , produsul lui $47$ cu $58$ se calculează ca $2 \cdot 4 = 8$ , fiindcă resturile sunt $2$ și $4$ . Numerele rămân astfel mici la fiecare pas.

Ce rest dă 7 la puterea 100 la împărțirea cu 5?

Restul $1$ . Cum $7$ dă restul $2$ modulo $5$ , calculezi puterile lui $2$ : $2$ , $4$ , $3$ , $1$ , apoi ciclul se repetă din patru în patru. Fiindcă $100$ se împarte exact la $4$ , rezultatul este $\hat{1}$ .

De ce se repetă puterile unei clase de resturi?

Fiindcă mulțimea are doar $n$ elemente: șirul puterilor nu poate produce la nesfârșit valori noi, deci mai devreme sau mai târziu o clasă reapare, iar de acolo totul se reia periodic. Lungimea perioadei se află calculând puterile una câte una.

Ce se schimbă dacă modulul este număr prim?

Dispar necazurile de la modulul compus: niciun produs de clase nenule nu mai iese nul, simplificarea redevine permisă, iar fiecare clasă diferită de zero capătă invers. De aceea $Z_{7}$ se poartă mult mai aproape de mulțimea numerelor raționale decât $Z_{6}$ .

Oamenii mai întreabă și: înmulțirea claselor de resturi · produs de clase modulo n · divizori ai lui zero · puteri de clase de resturi · distributivitatea la clase de resturi