Se consideră $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$$ și $$B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$$. Matricea $$2A - 3B$$ este:

$$\begin{pmatrix} 5 & -13 \\ 2 & -15 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 5 & -13 \\ 2 & 15 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 14 & 15 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 5 & -13 \\ 14 & -15 \end{pmatrix}$$

Fie $$A \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{C})$$ și $$\alpha \in \mathbb{C}$$ cu $$\alpha A = O_{2,3}$$. Atunci:

$$\alpha = 0$$ sau $$A = O_{2,3}$$

în mod obligatoriu $$\alpha = 0$$

în mod obligatoriu $$A = O_{2,3}$$

$$\alpha = 0$$ și $$A = O_{2,3}$$

Cum înmulțesc o matrice cu un număr?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Înmulțirea unei matrice cu un scalar

Numărul intră în toate căsuțele matricei, zerourile incluse, iar tipul rămâne neschimbat. El se numește scalar și poate fi și complex. Astfel, $3 (10 - 2 4) = (30 - 6 12)$ . Operația se poate face întotdeauna, fără nicio condiție de compatibilitate, spre deosebire de adunare, care cere matrice de același tip.

Pentru $A = (a_{ij}) \in M_{m, n} (C)$ și un număr $α \in C$ , numit scalar, matricea $α A$ are elementele $(α A)_{ij} = α a_{ij}$ : fiecare element se înmulțește cu $α$ , inclusiv zerourile, și nimic altceva nu se schimbă. Spre deosebire de adunare, operația nu are nicio condiție de compatibilitate — se poate face întotdeauna — iar rezultatul păstrează formatul lui $A$ . Scalarul poate fi și complex, așa cum cere programa: pentru $α = i$ și $D = (10 2 - 3)$ obținem $i D = (i 0 2 i - 3 i)$ .

Cele cinci proprietăți sunt $α (A + B) = α A + α B$ , $(α + β) A = α A + β A$ , $α (β A) = (α β) A$ , $1 \cdot A = A$ și $0 \cdot A = O_{m, n}$ . Din ultima decurge o consecință des folosită: $α A = O_{m, n}$ înseamnă $α = 0$ sau $A = O_{m, n}$ — niciodată doar una dintre variante. Pentru $α = - 1$ se obține opusa, $(- 1) A = - A$ .

O expresie $α A + β B$ se numește combinație liniară: se fac întâi înmulțirile cu scalari, apoi adunarea. Citită invers, definiția permite scoaterea factorului comun, dar din tot tabloul deodată, niciodată dintr-o singură linie. Ecuațiile $α X + A = B$ se rezolvă izolând $X$ și înmulțind cu $\frac{1}{α}$ , cu verificare obligatorie prin înlocuire. În fine, $^{t} (α A) = α^{t} A$ .

De reținut

$(α A)_{ij} = α a_{ij}$
operația se poate face oricând, fără condiții
$α A = O$ înseamnă $α = 0$ sau $A = O$

Greșeala tipică

Factorul comun este scos dintr-o singură linie a matricei. Scalarul înmulțește tot tabloul deodată, așa că el se poate scoate numai dacă apare în fiecare element, nu doar într-un rând.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $A = (14 - 2 0)$ și $B = (- 1 2 35)$ . Matricea $2 A - 3 B$ este:
- a) $(52 - 13 15)$
- b) $(- 1 14 515)$
- c) $(514 - 13 - 15)$
- d) $(52 - 13 - 15)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(52 - 13 - 15)$

Calculăm separat $2 A = (28 - 4 0)$ și $3 B = (- 3 6 915)$ , apoi scădem: $2 - (- 3) = 5$ , $- 4 - 9 = - 13$ , $8 - 6 = 2$ , $0 - 15 = - 15$ . Varianta b) este $2 A + 3 B$ , iar celelalte două conțin câte o greșeală de semn.
Fie $A \in M_{2, 3} (C)$ și $α \in C$ cu $α A = O_{2, 3}$ . Atunci:
- a) $α = 0$ sau $A = O_{2, 3}$
- b) în mod obligatoriu $α = 0$
- c) în mod obligatoriu $A = O_{2, 3}$
- d) $α = 0$ și $A = O_{2, 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $α = 0$ sau $A = O_{2, 3}$

Dacă $α \neq = 0$ , din $α a_{ij} = 0$ pentru toți indicii rezultă $a_{ij} = 0$ , deci $A = O_{2, 3}$ . Concluzia corectă este deci o disjuncție: măcar una dintre cele două posibilități are loc. Contraexemplu pentru b): $α = 5$ și $A = O_{2, 3}$ .
Se consideră $A = (20 - 1 3)$ . Determinați $m \in R$ pentru care matricea $m A + (1 - 2 45)$ are suma elementelor de pe diagonala principală egală cu $16$ .
- a) $m = \frac{16}{5}$
- b) $m = 2$
- c) $m = \frac{22}{5}$
- d) $m = \frac{15}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $m = 2$

Avem $m A + B = (2 m + 1 - 2 - m + 4 3 m + 5)$ , deci suma cerută este $(2 m + 1) + (3 m + 5) = 5 m + 6$ . Din $5 m + 6 = 16$ obținem $m = 2$ . Varianta a) apare când se uită elementele diagonale ale celei de-a doua matrice, iar d) când se folosește un singur element.

Întrebări conexe

Ce este un scalar?

Este numărul cu care se înmulțește o matrice, spre deosebire de elementele tabloului. Poate fi întreg, rațional, real sau complex. Numele îl deosebește de matrice și amintește că el acționează asupra tuturor pozițiilor deodată, nu asupra uneia singure.

Care sunt proprietățile înmulțirii unei matrice cu un scalar?

Scalarul se distribuie peste suma a două matrice, suma a doi scalari se distribuie peste aceeași matrice, doi scalari aplicați succesiv se pot înmulți între ei, înmulțirea cu $1$ nu schimbă nimic, iar înmulțirea cu $0$ dă matricea nulă de același tip.

Ce se obține înmulțind o matrice cu $- 1$ ?

Se obține opusa ei, adică matricea cu toate semnele schimbate. Adunată cu matricea inițială, ea dă matricea nulă, ceea ce arată că opusa de la adunare și înmulțirea cu $- 1$ duc la același rezultat.

Se schimbă formatul unei matrice înmulțite cu un număr?

Nu, tipul rămâne exact același: numărul de linii și cel de coloane nu se modifică. Se schimbă doar valorile elementelor. Din acest motiv, o combinație de forma $α A + β B$ are sens numai dacă cele două matrice au deja același tip.

Ce se întâmplă cu zerourile dintr-o matrice înmulțită cu un scalar?

Rămân zerouri, fiindcă orice număr înmulțit cu zero dă zero. Ele trebuie totuși scrise în rezultat, la locul lor; sărirea peste ele strică așezarea tabloului și poate schimba tipul matricei obținute.

Ce relație există între transpusă și înmulțirea cu un scalar?

Ordinea lor nu contează: transpusa unei matrice înmulțite cu un scalar este scalarul înmulțit cu transpusa. Explicația este simplă, transpunerea mută numerele dintr-un loc în altul, iar scalarul le înmulțește pe toate la fel, oriunde s-ar afla.

Oamenii mai întreabă și: înmulțirea unei matrice cu un număr · înmulțirea cu un scalar · combinație liniară de matrice · cum scot factor comun dintr-o matrice