Cum se calculează puterile lui i?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Înmulțirea și puterile lui i

Ele se repetă din patru în patru: $i^{0} = 1$ , $i^{1} = i$ , $i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ , apoi ciclul reîncepe. Ca să afli $i^{n}$ , împarți exponentul la $4$ și te uiți la rest: restul $0$ dă $1$ , restul $1$ dă $i$ , restul $2$ dă $- 1$ , restul $3$ dă $- i$ . De pildă, $2027 = 4 \cdot 506 + 3$ , deci $i^{2027} = - i$ . La exponenți negativi restul se ia tot nenegativ.

Înmulțirea numerelor complexe se face desfăcând parantezele și folosind $i^{2} = - 1$ :

$(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i .$

Înmulțirea în $C$ este comutativă, asociativă, are elementul neutru $1$ și este distributivă față de adunare — toate regulile din clasa a IX-a rămân valabile, cu singura noutate $i^{2} = - 1$ . Reține și $(a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}$ , un număr real nenegativ.

Puterile lui $i$ sunt periodice, cu perioada $4$ : $i^{0} = 1$ , $i^{1} = i$ , $i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ , apoi ciclul se repetă. Regula generală: $i^{n} = i^{r}$ , unde $r \in {0, 1, 2, 3}$ este restul împărțirii lui $n$ la $4$ . Pentru exponenți negativi, restul se ia tot nenegativ — de exemplu $- 13 = 4 \cdot (- 4) + 3$ , deci $i^{- 13} = i^{3} = - i$ ; a scrie $- 13 = 4 \cdot (- 3) - 1$ și a „citi” restul $- 1$ este greșit, pentru că tabelul are doar resturile $0, 1, 2, 3$ .

Orice patru puteri consecutive ale lui $i$ au suma $0$ ( $1 + i - 1 - i = 0$ în orice ordine), fapt care simplifică sumele lungi de puteri: le grupezi câte patru și rămâi doar cu „coada”.

De reținut

$(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$
$i^{n} = i^{r}$ , cu $r$ restul împărțirii lui $n$ la $4$
$(a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}$

Greșeala tipică

Se lasă $i^{2}$ nesimplificat după desfacerea parantezelor, iar partea reală iese greșită. Ori de câte ori apare $i^{2}$ , el se înlocuiește imediat cu $- 1$ .

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $(5 + 2 i) (3 - 4 i)$ .
- a) $23 - 14 i$
- b) $7 - 14 i$
- c) $23 + 14 i$
- d) $7 + 14 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $23 - 14 i$

$(5 + 2 i) (3 - 4 i) = 15 - 20 i + 6 i - 8 i^{2} = 15 - 14 i + 8 = 23 - 14 i$ . Varianta b) uită termenul $- 8 i^{2} = + 8$ din partea reală.
Cât este $i^{2027}$ ?
- a) $i$
- b) $- i$
- c) $- 1$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- i$

$2027 = 4 \cdot 506 + 3$ , deci restul este $3$ și $i^{2027} = i^{3} = - i$ .
Calculați $(2 - i)^{2}$ .
- a) $5 - 4 i$
- b) $3 + 4 i$
- c) $3 - 4 i$
- d) $5 + 4 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3 - 4 i$

$(2 - i)^{2} = 4 - 4 i + i^{2} = 4 - 4 i - 1 = 3 - 4 i$ . Variantele a) și d) uită să scadă $1$ provenit din $i^{2}$ .

Întrebări conexe

Cât face 5 plus 2i, înmulțit cu 3 minus 4i?

Desfaci parantezele ca la orice produs de binoame: $15 - 20 i + 6 i - 8 i^{2}$ . Înlocuind $i^{2}$ cu $- 1$ , ultimul termen devine $+ 8$ , deci obții $23 - 14 i$ . Uitarea acestei înlocuiri lasă partea reală mai mică cu opt unități.

Ce se întâmplă cu puterile lui i la exponent multiplu de 4?

Dau întotdeauna $1$ , fiindcă restul împărțirii este zero. De aici vine și trucul de reducere: scazi din exponent cel mai mare multiplu de patru care încape și lucrezi doar cu ce rămâne. Tot de aici iese și faptul că patru puteri vecine se anulează prin adunare.

Cât face 2 minus i, la pătrat?

Aplici formula pătratului unei diferențe: $4 - 4 i + i^{2}$ . Cum $i^{2} = - 1$ , partea reală devine $4 - 1 = 3$ , deci rezultatul este $3 - 4 i$ . Greșeala obișnuită este să lași $i^{2}$ neînlocuit și să scrii partea reală ca fiind $4$ .

Cum recunosc repede restul împărțirii unui exponent la 4?

Te uiți doar la ultimele două cifre ale exponentului, fiindcă orice sută se împarte exact la patru. Pentru $3050$ privești $50$ , care dă restul $2$ , deci puterea iese $- 1$ . Trucul scurtează calculul chiar și la exponenți de zeci de cifre.

Ce proprietăți păstrează înmulțirea numerelor complexe?

Toate cele știute de la numerele reale: este comutativă, asociativă, are elementul neutru $1$ și se distribuie față de adunare. Singura noutate este înlocuirea lui $i^{2}$ cu $- 1$ , care apare după desfacerea parantezelor. De aceea calculele arată exact ca la binoame.

Cu ce este egal produsul dintre a plus bi și a minus bi?

Este $a^{2} + b^{2}$ , un număr real și nenegativ. Desfăcând parantezele, termenii cu $i$ se anulează, iar $- b^{2} i^{2}$ devine $+ b^{2}$ . Relația aceasta stă la baza împărțirii numerelor complexe și a formulei modulului.

Oamenii mai întreabă și: puterile lui i · cât face i la puterea n · i la puterea 2026 · cum se înmulțesc două numere complexe · i la puteri negative