Funcția semn, $$\operatorname{sgn} : [-1, 1] \to \mathbb{R}$$, este:

integrabilă, dar nu admite primitive

neintegrabilă, dar admite primitive

Care afirmație este adevărată?

cele două proprietăți sunt independente: toate cele patru combinații se realizează

orice funcție care admite primitive este integrabilă

orice funcție integrabilă admite primitive

o funcție discontinuă nu poate admite primitive

Funcția lui Dirichlet, pe $$[0, 1]$$:

este mărginită, dar nu este integrabilă și nu admite primitive

este integrabilă, cu integrala $$0$$

admite primitive, dar nu este integrabilă

Integrabilă și cu primitive e același lucru?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrabilitate și primitive

Nu. Sunt două proprietăți fără nicio legătură logică între ele, iar toate cele patru combinații se întâlnesc efectiv. Integrabilitatea se decide după mărginire și după câte rupturi are funcția; existența primitivelor se decide după felul acelor rupturi și după forma mulțimii valorilor. O funcție continuă le are pe amândouă, iar funcția semn este integrabilă, dar nu are primitive, fiindcă sare în origine.

Integrabilitatea și existența primitivelor sunt proprietăți independente: fiecare dintre cele patru combinații posibile se realizează efectiv, deci nicio implicație între ele nu are loc. Uneltele de decizie sunt și ele diferite — mărginirea decide integrabilitatea, speța discontinuității și imaginea decid primitivele.

Cazurile-model. O funcție continuă pe un interval este simultan integrabilă și admite primitive. Funcția semn este mărginită, cu o singură discontinuitate, deci integrabilă; dar are în $0$ o discontinuitate de speța I, deci nu admite primitive. Funcția lui Dirichlet este mărginită, dar nu este integrabilă (două sisteme de puncte intermediare pe aceeași diviziune dau sume diferite) și nici nu admite primitive, fiindcă imaginea ei, ${0, 1}$ , nu este interval.

A patra căsuță arată că o funcție discontinuă poate admite primitive: derivata funcției $x^{2} sin \frac{1}{x}$ (prelungită cu $0$ ) este discontinuă în origine, dar este derivata cuiva. Speța a II-a este singura compatibilă cu existența primitivelor.

Modificarea valorilor într-un număr finit de puncte nu schimbă nici integrabilitatea, nici valoarea integralei — proprietatea de stabilitate —, dar poate distruge existența primitivelor: dintr-o funcție continuă se poate obține astfel una cu discontinuitate de speța I.

De reținut

cele patru combinații se întâlnesc toate
mărginirea decide integrabilitatea
speța și imaginea decid primitivele
funcția semn: integrabilă, fără primitive

Greșeala tipică

Se spune că o funcție discontinuă nu poate fi nici integrabilă, nici cu primitive. Discontinuitatea singură nu împiedică nimic: contează câte rupturi sunt, dacă funcția rămâne mărginită și ce fel de rupturi apar.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția semn, $sgn : [- 1, 1] \to R$ , este:
- a) integrabilă și admite primitive
- b) neintegrabilă, dar admite primitive
- c) integrabilă, dar nu admite primitive
- d) nici integrabilă, nici cu primitive
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) integrabilă, dar nu admite primitive

Este mărginită și are o singură discontinuitate, deci este integrabilă. În $0$ are însă limite laterale finite și diferite, adică o discontinuitate de speța I, iar o astfel de funcție nu admite primitive — prin consecința teoremei lui Darboux. Integrala ei se calculează din definiție.
Care afirmație este adevărată?
- a) cele două proprietăți sunt independente: toate cele patru combinații se realizează
- b) orice funcție care admite primitive este integrabilă
- c) orice funcție integrabilă admite primitive
- d) o funcție discontinuă nu poate admite primitive
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) cele două proprietăți sunt independente: toate cele patru combinații se realizează

Funcția semn este integrabilă fără primitive, derivata funcției $x^{2} sin \frac{1}{x}$ admite primitive fiind discontinuă, orice funcție continuă le are pe amândouă, iar funcția lui Dirichlet nu are niciuna. Deci nicio implicație nu este validă, în niciun sens.
Funcția lui Dirichlet, pe $[0, 1]$ :
- a) este integrabilă, cu integrala $0$
- b) este mărginită, dar nu este integrabilă și nu admite primitive
- c) admite primitive, dar nu este integrabilă
- d) nu este mărginită
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) este mărginită, dar nu este integrabilă și nu admite primitive

Valorile ei sunt $0$ și $1$ , deci este mărginită. Pe aceeași diviziune, punctele intermediare raționale dau suma $1$ , iar cele iraționale suma $0$ : nu există numărul $I$ din definiție. Imaginea ${0, 1}$ nu este interval, deci nici primitive nu are.

Întrebări conexe

Câte combinații posibile există între cele două proprietăți?

Patru, și fiecare se realizează efectiv printr-un exemplu. De aceea niciuna dintre ele nu se poate deduce din cealaltă. La un exercițiu se verifică amândouă separat, cu uneltele lor: mărginirea pentru integrabilitate, speța rupturii și mulțimea valorilor pentru primitive.

Ce unealtă decide integrabilitatea și care decide primitivele?

Pentru integrabilitate se privesc mărginirea funcției și numărul punctelor în care se rupe. Pentru primitive se privesc felul rupturilor și faptul că mulțimea valorilor este sau nu interval. Instrumentele nu se amestecă: mărginirea nu spune nimic despre existența primitivelor.

Ce speță de discontinuitate se împacă cu existența primitivelor?

Doar a doua. Într-un astfel de punct cel puțin o limită laterală lipsește ori este infinită, iar acolo funcția poate fi totuși derivata cuiva. Când amândouă limitele laterale sunt numere finite, proprietatea valorilor intermediare cade, deci primitivele nu mai există.

Ce înseamnă proprietatea de stabilitate a integralei?

Că schimbarea valorilor în câteva puncte izolate nu mișcă nici integrabilitatea, nici valoarea integralei. Sumele Riemann se modifică atât de puțin încât limita rămâne aceeași. La primitive lucrurile stau altfel: aceeași schimbare poate distruge existența lor.

De ce nu implică existența primitivelor mărginirea funcției?

Fiindcă o derivată poate fi nemărginită: există funcții derivabile a căror derivată crește peste orice margine lângă un punct. O astfel de derivată are primitive prin însăși construcția ei, dar nu este integrabilă, tocmai pentru că orice funcție integrabilă rămâne mărginită.

Oamenii mai întreabă și: integrabilă dar fără primitive · diferența dintre integrabilă și cu primitive · funcția lui Dirichlet · funcția semn are primitive · contraexemple la primitive