Cum calculez o integrală cu modul?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrale cu ramuri și cu modul

Faci întâi tabelul de semn al expresiei de sub bare, păstrând numai rădăcinile aflate în interiorul intervalului de integrare. Tai apoi integrala în acele puncte și, pe fiecare bucată, înlocuiești modulul cu expresia sau cu opusul ei, după semn. La final aduni rezultatele. De pildă, $\int_{0}^{3} ∣ x - 1 ∣ d x = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$ , iar fiecare bucată iese pozitivă.

O funcție definită pe ramuri, mărginită și cu un număr finit de discontinuități, este integrabilă, chiar dacă are salturi și chiar dacă nu admite primitive pe tot intervalul. Formula Leibniz–Newton nu se poate aplica dintr-o dată, pentru că nu există o primitivă unică pe $[a, b]$ ; se aplică pe fiecare bucată.

Cei patru pași ai integralei pe ramuri: justifici integrabilitatea; tai intervalul în punctele de racord cu aditivitatea în raport cu intervalul; aplici formula Leibniz–Newton pe fiecare bucată, cu formula ramurii ei; aduni rezultatele. Valorile din punctele de racord nu influențează rezultatul, prin proprietatea de stabilitate, deci fiecare ramură se integrează pe intervalul închis corespunzător.

La o funcție cu modul se adaugă un pas preliminar: tabelul de semn al expresiei de sub modul, pe intervalul de integrare, reținând numai rădăcinile din interval. Acolo unde expresia este negativă se integrează opusul ei, iar fiecare bucată trebuie să dea un rezultat pozitiv — un control rapid al calculului.

Greșeala capitală rămâne confuzia dintre $\int_{a}^{b} ∣ f ∣$ și $\int_{a}^{b} f$ : prima nu admite compensări între bucata negativă și cea pozitivă. Egalitatea are loc doar când $f$ nu schimbă semnul pe interval.

De reținut

tabel de semn, tăiere, apoi Leibniz-Newton
valorile din punctele de racord nu schimbă integrala
fiecare bucată din suma cu modul iese pozitivă

Greșeala tipică

Se scot barele scriind modulul integralei în locul integralei modulului. Egalitatea nu are loc: sub bare nu există compensare între porțiunea de sub axă și cea de deasupra, deci al doilea număr este de obicei mai mare.

Exerciții din această mini-lecție

$\int_{0}^{5} ∣ 2 x - 6 ∣ d x$ este egală cu:
- a) $9$
- b) $5$
- c) $13$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $13$

Expresia se anulează în $3 \in [0, 5]$ : pe $[0, 3]$ este negativă, deci se integrează $6 - 2 x$ , cu rezultatul $9$ ; pe $[3, 5]$ este pozitivă, deci se integrează $2 x - 6$ , cu rezultatul $4$ . Total: $13$ . Varianta $5$ este $\int_{0}^{5} (2 x - 6) d x$ — exact greșeala capitală.
Fie $f : [0, 3] \to R$ , cu $f (x) = x + 1$ pentru $x \in [0, 2)$ și $f (x) = 5$ pentru $x \in [2, 3]$ . Atunci $\int_{0}^{3} f (x) d x$ este:
- a) $\frac{15}{2}$
- b) $4$
- c) $5$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $9$

Funcția este mărginită, cu o singură discontinuitate, deci integrabilă. Tăiem în $2$ : $\int_{0}^{2} (x + 1) d x = (\frac{x ^{2}}{2} + x)_{0}^{2} = 4$ și $\int_{2}^{3} 5 d x = 5$ , deci totalul este $9$ . Varianta $\frac{15}{2}$ folosește prima formulă pe tot intervalul, ignorând a doua ramură.
Punctele în care se rupe intervalul la calculul integralei $\int_{1}^{4} ∣ x^{2} - 4 x + 3 ∣ d x$ sunt:
- a) $1$ și $3$
- b) doar $3$
- c) doar $2$
- d) niciunul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) doar $3$

Rădăcinile trinomului sunt $1$ și $3$ , dar $1$ este chiar capătul intervalului, deci nu produce o rupere: se taie doar în $3$ . Punctul $2$ este vârful parabolei, nu un zero. Se rețin întotdeauna numai zerourile din interiorul intervalului de integrare.

Întrebări conexe

Trebuie ca funcția să admită primitive ca să o pot integra pe ramuri?

Nu. Dacă rămâne mărginită și are puține rupturi, o funcție scrisă pe bucăți este integrabilă chiar cu salturi cu tot, deci chiar dacă nu are primitive pe tot intervalul. Ce nu se poate este folosirea formulei dintr-o singură mișcare: se lucrează bucată cu bucată.

Cât este integrala de la 0 la 3 din modul de x minus 1?

Expresia se anulează în $1$ , deci intervalul se rupe acolo. Pe prima bucată modulul devine $1 - x$ și dă $\frac{1}{2}$ ; pe a doua devine $x - 1$ și dă $2$ . Suma este $\frac{5}{2}$ , iar amândouă bucățile au ieșit pozitive, semn că semnele au fost citite bine.

Ce proprietate permite tăierea intervalului în punctul de racord?

Aditivitatea în raport cu intervalul. Ea spune că integrala pe tot intervalul este suma integralelor pe cele două bucăți, oricare ar fi punctul ales între capete. Fără ea nu ai avea dreptul să folosești formule diferite pe porțiuni diferite.

Cât este integrala funcției parte întreagă de la 0 la 2?

Funcția ia valoarea $0$ pe prima bucată și $1$ pe a doua, deci integrala este $0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$ . Saltul din mijloc nu strică nimic: funcția rămâne mărginită și are o singură ruptură, deci este integrabilă.

De ce nu se pot compensa bucățile la integrala modulului?

Pentru că sub bare fiecare bucată devine pozitivă, deci nimic nu se scade. La integrala funcției fără bare, o porțiune de sub axă anulează una de deasupra, iar rezultatul poate ieși chiar zero. Cele două coincid doar când semnul rămâne același.

Oamenii mai întreabă și: integrala cu modul · integrala unei funcții pe ramuri · cum scot modulul din integrală · tabel de semn la integrale · integrala funcției parte întreagă