Egalitatea $$\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + \mathcal{C}$$ pe intervalul $$I$$ înseamnă că:

mulțimea primitivelor lui $$f$$ pe $$I$$ este $$\{F + c \mid c \in \mathbb{R}\}$$

$$F$$ este singura primitivă a lui $$f$$ pe $$I$$

$$F(x) + \mathcal{C}$$ este o funcție, pentru un $$\mathcal{C}$$ fixat

$$F' = f$$ numai în câteva puncte ale lui $$I$$

Pe intervalul $$(0, +\infty)$$, $$\displaystyle\int \left(4x^{3} - \frac{6}{x} + 2\right)dx$$ este egală cu:

$$x^{4} - 6\ln\lvert x \rvert + 2x + \mathcal{C}$$

$$x^{4} - \dfrac{6}{x^{2}} + 2x + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{x^{4}}{4} - 6\ln\lvert x \rvert + 2x + \mathcal{C}$$

$$x^{4} - 6\ln\lvert x \rvert + 2 + \mathcal{C}$$

Ce este integrala nedefinită?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrala nedefinită

Este mulțimea tuturor primitivelor unei funcții pe un interval, nu o singură funcție. Scrierea $\int f (x) d x = F (x) + C$ strânge la un loc toate funcțiile care diferă printr-o constantă: pentru $f (x) = 2 x$ rezultatul este $x^{2} + C$ , deci și $x^{2} + 7$ , și $x^{2} - 3$ . Simbolul $C$ înseamnă chiar mulțimea funcțiilor constante, iar corectitudinea se controlează derivând înapoi.

Integrala nedefinită a lui $f$ pe un interval $I$ este mulțimea tuturor primitivelor lui $f$ acolo, notată $\int f (x) d x$ . Scrierea $\int f (x) d x = F (x) + C$ înseamnă ${F + c ∣ c \in R}$ , unde $C$ este mulțimea funcțiilor constante pe $I$ — nu o literă oarecare, ci un obiect cu nume.

Notația se citește pe bucăți: semnul integral adună, $f$ este funcția de integrat, iar $d x$ spune care literă este variabila. Derivarea și integrarea stau una în oglinda celeilalte: $(\int f (x) d x)^{'} = f (x)$ , adică derivarea desface exact integrarea, în timp ce $\int f^{'} (x) d x = f (x) + C$ , adică integrarea desface derivarea numai până la o constantă.

Liniaritatea se demonstrează prin derivare: $\int (f + g) (x) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ și $\int α f (x) d x = α \int f (x) d x$ pentru $α \neq = 0$ ; la $α = 0$ membrul stâng este $C$ , iar cel drept o singură funcție. În calcul, rețeta are trei etape: prelucrare algebrică, liniaritate, tabel — iar $C$ se scrie o singură dată, la final. Mulțimea $H (I)$ a funcțiilor care admit primitive pe $I$ , cu adunarea, este monoid comutativ în care orice element este simetrizabil.

De reținut

$\int f (x) d x$ este mulțimea primitivelor lui $f$ pe interval, nu o funcție
$(\int f (x) d x)^{'} = f (x)$ , iar $\int f^{'} (x) d x = f (x) + C$
liniaritatea: $\int α f = α \int f$ numai pentru $α \neq = 0$

Greșeala tipică

Se scrie câte o constantă după fiecare termen, atunci când integrala se sparge într-o sumă. Toate acele constante se adună într-una singură, care se trece o dată, la sfârșitul calculului.

Exerciții din această mini-lecție

Egalitatea $\int f (x) d x = F (x) + C$ pe intervalul $I$ înseamnă că:
- a) $F$ este singura primitivă a lui $f$ pe $I$
- b) mulțimea primitivelor lui $f$ pe $I$ este ${F + c ∣ c \in R}$
- c) $F (x) + C$ este o funcție, pentru un $C$ fixat
- d) $F^{'} = f$ numai în câteva puncte ale lui $I$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) mulțimea primitivelor lui $f$ pe $I$ este ${F + c ∣ c \in R}$

În membrul stâng stă o mulțime de funcții, nu o funcție: $C$ este mulțimea funcțiilor constante pe $I$ , iar $F + C$ înseamnă ${F + c ∣ c \in R}$ . Egalitatea are loc pentru că, pe un interval, orice două primitive diferă printr-o constantă.
Pe intervalul $I$ , integrala $\int 0 d x$ este egală cu:
- a) $C$
- b) $x + C$
- c) nu există
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $C$

Primitivele funcției nule sunt exact funcțiile constante, deci $\int 0 d x = C$ . Tocmai de aceea regula $\int α f = α \int f$ se enunță cu $α \neq = 0$ : pentru $α = 0$ membrul stâng este mulțimea $C$ , iar membrul drept ar fi funcția nulă, singură.
Pe intervalul $(0, + \infty)$ , $\int (4 x^{3} - \frac{6}{x} + 2) d x$ este egală cu:
- a) $x^{4} - \frac{6}{x ^{2}} + 2 x + C$
- b) $\frac{x ^{4}}{4} - 6 ln ∣ x ∣ + 2 x + C$
- c) $x^{4} - 6 ln ∣ x ∣ + 2 + C$
- d) $x^{4} - 6 ln ∣ x ∣ + 2 x + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x^{4} - 6 ln ∣ x ∣ + 2 x + C$

Prin liniaritate, $\int 4 x^{3} d x = x^{4}$ , $\int \frac{6}{x} d x = 6 ln ∣ x ∣$ și $\int 2 d x = 2 x$ , cu un singur $C$ la final. Varianta cu $\frac{x ^{4}}{4}$ pierde factorul $4$ , iar cea cu $- \frac{6}{x ^{2}}$ derivează în loc să integreze.

Întrebări conexe

În ce ordine se aplică cele două operații inverse la integrale?

Contează, fiindcă rezultatele diferă. Derivând o integrală nedefinită se ajunge înapoi exact la funcția de plecare, în timp ce integrând o derivată se obține funcția plus mulțimea constantelor. Integrarea reface funcția, dar nu și valoarea de la care s-a plecat.

Ce condiție cere scoaterea unei constante în fața integralei?

Ca ea să fie nenulă. Pentru un factor nul, membrul stâng devine mulțimea funcțiilor constante, iar cel drept ar fi o singură funcție, deci egalitatea cade. Regula se enunță de aceea cu restricția scrisă explicit.

Care sunt cele trei etape ale calculului unei integrale nedefinite?

Întâi prelucrarea algebrică, prin care fracțiile, produsele și radicalii se aduc la o sumă de termeni simpli. Apoi liniaritatea, care sparge integrala în bucăți și scoate constantele. La urmă tabelul, aplicat fiecărui termen în parte.

Ce se obține integrând derivata unei funcții?

Funcția însăși, la care se adaugă mulțimea constantelor: $\int f^{'} (x) d x = f (x) + C$ . Informația pierdută este tocmai valoarea inițială, care nu se poate reconstitui din derivată; ea se recuperează dintr-o cerință suplimentară.

Ce spune notația de sub semnul integral?

Semnul lung arată adunarea, între el și $d x$ stă funcția de integrat, iar ultima parte numește litera care joacă rolul variabilei. Fără ultima parte, într-o expresie cu mai multe litere nu s-ar ști ce se integrează și ce se ține fix.

Ce structură algebrică formează funcțiile care admit primitive?

Un monoid comutativ față de adunare, în care fiecare element are simetric. Suma a două funcții care admit primitive admite primitive, funcția nulă joacă rolul neutrului, iar opusa unei astfel de funcții rămâne în mulțime.

Oamenii mai întreabă și: mulțimea primitivelor unei funcții · constanta de integrare · de ce se scrie dx · liniaritatea integralei · cum verific o integrală nedefinită