Cum calculez o integrală dintr-o fracție?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrale definite din funcții raționale

Verifici întâi că numitorul nu se anulează între capete, apoi împarți dacă numărătorul are gradul cel puțin cât numitorul, descompui în fracții simple și evaluezi între limite. Un factor liniar dă logaritm, o putere a lui dă putere negativă, iar un trinom fără rădăcini reale dă arctangentă. De exemplu, $\int_{1}^{2} \frac{d x}{x ( x + 1 )} = ln \frac{4}{3}$ .

Cele patru etape ale integralei raționale: controlul intervalului, împărțirea, descompunerea, evaluarea. Prima etapă se scrie, nu se subînțelege: numitorul nu are voie să se anuleze în niciun punct al intervalului de integrare. Scrierea $\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}}$ nu are sens, iar „rezultatul” $- 2$ contrazice pozitivitatea integrandului.

A doua etapă: când gradul numărătorului este mai mare sau egal cu al numitorului, se face întâi împărțirea cu rest; descompunerea în fracții simple aplicată direct dă un sistem incompatibil. A treia etapă: un factor liniar dă logaritm, un factor liniar la putere dă o putere negativă, iar un trinom cu discriminant negativ dă arctangentă, eventual însoțită de un logaritm.

Când numărătorul este exact derivata numitorului, integrala este direct $ln ∣ u ∣$ evaluat între limite, fără nicio descompunere. Modulul se pune la factorii care își pot schimba semnul și se omite la trinoamele strict pozitive.

O integrală este reductibilă la o funcție rațională dacă o substituție de tipul $t = e^{x}$ , $t = ln x$ , $t = sin x$ , $t = cos x$ sau $x = t^{2}$ o transformă într-una rațională — cu limitele schimbate odată cu variabila. La final, rezultatul se controlează prin semn, prin ordin de mărime și prin încadrare.

De reținut

numitorul nu se anulează între capete
împărțire, descompunere, evaluare
factor liniar: logaritm; trinom cu $Δ < 0$ : arctangentă

Greșeala tipică

Se sare peste controlul intervalului. O integrală scrisă peste un punct în care numitorul se anulează nu are sens, iar numărul obținut poate contrazice chiar semnul integrandului.

Exerciții din această mini-lecție

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{( x + 1 ) ( x + 2 )}$ este egală cu:
- a) $ln \frac{4}{3}$
- b) $ln \frac{3}{4}$
- c) $ln 6$
- d) $\frac{1}{ln 6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $ln \frac{4}{3}$

Descompunerea este $\frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$ , deci integrala este $ln \frac{x + 1}{x + 2}_{0}^{1} = ln \frac{2}{3} - ln \frac{1}{2} = ln \frac{4}{3} \approx 0, 288$ . Varianta $ln \frac{3}{4}$ are semnul răsturnat, iar valoarea trebuie să fie pozitivă, integrandul fiind pozitiv.
$\int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{x + 1} d x$ este egală cu:
- a) $ln 2$
- b) $ln 2 + \frac{1}{2}$
- c) $\frac{1}{2} - ln 2$
- d) $ln 2 - \frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $ln 2 - \frac{1}{2}$

Gradul numărătorului nu este mai mic decât al numitorului, deci întâi împărțirea: $\frac{x ^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$ . Atunci integrala este $(\frac{x ^{2}}{2} - x + ln (x + 1))_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 1 + ln 2 = ln 2 - \frac{1}{2} \approx 0, 193$ .
$\int_{0}^{2} \frac{d x}{x ^{2} + 4}$ este egală cu:
- a) $\frac{π}{4}$
- b) $\frac{π}{8}$
- c) $\frac{ln 2}{2}$
- d) $\frac{π}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{π}{8}$

Trinomul are discriminant negativ, deci rezultatul conține arctangentă: $\frac{1}{2} arctg \frac{x}{2}_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{8}$ . Varianta $\frac{ln 2}{2}$ apare când se confundă cu integrala surori $\int_{0}^{2} \frac{x d x}{x ^{2} + 4}$ , în care numărătorul este derivata numitorului.

Întrebări conexe

Ce se face când numărătorul este chiar derivata numitorului?

Nu se mai descompune nimic: integrala este direct logaritmul modulului numitorului, evaluat între capete. Semnalul se caută înaintea oricărei descompuneri, fiindcă scurtează calculul cu câteva rânduri și taie riscul unei greșeli la coeficienți.

Cât este integrala de la 1 la 2 din 1 supra x ori x plus 1?

Descompui în $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ , iar evaluarea dă $ln \frac{x}{x + 1}_{1}^{2} = ln \frac{2}{3} - ln \frac{1}{2} = ln \frac{4}{3}$ . Rezultatul este pozitiv, ca orice integrală a unei funcții pozitive luate cu capetele în ordine crescătoare, iar valoarea lui se încadrează între o treime și jumătate.

Ce ordine au etapele la o integrală rațională?

Patru, în ordine fixă: controlul intervalului, împărțirea, descompunerea, evaluarea. Primul pas se scrie, nu se subînțelege, fiindcă un numitor care se anulează între capete face ca integrala să nu existe, oricât de frumos ar arăta calculul de după.

Ce se schimbă la limite când substitui t egal e la x?

Se recalculează amândouă: capătului din stânga, unde variabila este zero, îi corespunde $t = 1$ , iar celuilalt capăt îi corespunde exponențiala valorii lui. După substituție integrandul devine o funcție rațională în noua literă, iar calculul continuă cu fracțiile simple.

Cum se controlează rezultatul unei integrale raționale?

Se cercetează semnul, mărimea aproximativă și o încadrare rapidă. Un integrand pozitiv trebuie să dea un număr pozitiv, iar valoarea trebuie să stea între lungimea intervalului înmulțită cu cea mai mică valoare a funcției și aceeași lungime înmulțită cu cea mai mare.

Oamenii mai întreabă și: integrala definită dintr-o funcție rațională · integrala unei fracții cu polinoame · când apare arctangenta la integrala definită · integrale reductibile la raționale · fracții simple cu limite