Ce se poate spune despre $$\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{x^3}$$?

integrala nu există, pentru că funcția nu este integrabilă pe $$[-1,1]$$

este $$0$$, prin trucul simetriei

este $$0$$, pentru că integrandul este o funcție impară

Cât e integrala unei funcții impare?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrale ale funcțiilor pare, impare și periodice

Pe un interval simetric față de origine iese $0$ , cu condiția ca funcția să fie integrabilă acolo. Pentru o funcție pară, integrala pe un astfel de interval este dublul celei luate pe jumătatea din dreapta. Amândouă rezultatele vin din substituția care schimbă semnul variabilei, iar la examen se cere demonstrația sau măcar numirea corectă a acelei substituții.

Pe un interval simetric $[- a, a]$ , integrala unei funcții impare și integrabile este $0$ , iar integrala unei funcții pare este $2 \int_{0}^{a} f (x) d x$ . Ambele rezultate sunt aplicații ale schimbării de variabilă $x = - t$ — „lema oglinzii” —, nu formule de memorat: la Bacalaureat M1 se cere demonstrația sau măcar invocarea corectă a substituției. Simetria intervalului este o ipoteză: pe $[- 1, 2]$ nicio funcție impară nu are integrala automat nulă. La fel de importantă este integrabilitatea: $f (x) = \frac{1}{x ^{3}}$ este impară pe $R^{*}$ , dar nemărginită, deci $\int_{- 1}^{1} f$ nici nu există. Paritatea se verifică prin definiție, calculând $f (- x)$ : produsul a două funcții impare este par, deci $x sin x$ , $x^{3} sin x$ , $x tg x$ sunt pare. Formula unificată $\int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} (f (x) + f (- x)) d x$ rezolvă și cazurile fără paritate. Pentru o funcție continuă și periodică de perioadă $T$ , integrala pe orice interval de lungime $T$ are aceeași valoare, iar pe $n$ perioade se înmulțește cu $n$ . Trucul simetriei, $\int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} f (a - x) d x$ , rezolvă integralele fără primitivă vizibilă: se arată egalitatea, apoi se adună cele două scrieri.

De reținut

$f$ impară: $\int_{- a}^{a} f = 0$
$f$ pară: $\int_{- a}^{a} f = 2 \int_{0}^{a} f$
$f$ periodică: aceeași valoare pe orice perioadă

Greșeala tipică

Se scrie că integrala este zero doar fiindcă funcția este impară. Mai trebuie ca intervalul să fie simetric și ca funcția să fie integrabilă acolo; la $\frac{1}{x ^{3}}$ peste origine integrala nici nu există.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele funcții, definite pe $R$ , este pară?
- a) $f (x) = x^{3} cos x$
- b) $f (x) = x^{2} sin x$
- c) $f (x) = x sin x$
- d) $f (x) = x^{5} + x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f (x) = x sin x$

Verificăm prin definiție: $f (- x) = (- x) sin (- x) = (- x) (- sin x) = x sin x = f (x)$ , deci $x sin x$ este pară — produsul a două funcții impare este par. Celelalte trei sunt impare: $x^{3} cos x$ este impară $\cdot$ pară, $x^{2} sin x$ este pară $\cdot$ impară, iar $x^{5} + x$ este sumă de funcții impare. Greșeala tipică este să se declare impar produsul a două funcții impare.
Calculați $\int_{- 3}^{3} (x^{3} + 5 x^{2} + 7) d x$ .
- a) $174$
- b) $66$
- c) $90$
- d) $132$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $132$

Intervalul este simetric, iar $x^{3}$ este impară, deci partea ei se anulează. Rămâne $2 \int_{0}^{3} (5 x^{2} + 7) d x = 2 (\frac{5 x ^{3}}{3} + 7 x)_{0}^{3} = 2 (45 + 21) = 132$ . Varianta $66$ este rezultatul de pe $[0, 3]$ , adică jumătatea răspunsului — greșeala cea mai des întâlnită la funcțiile pare —, iar $90$ pierde termenul liber.
Ce se poate spune despre $\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{3}}$ ?
- a) integrala nu există, pentru că funcția nu este integrabilă pe $[- 1, 1]$
- b) este $0$ , prin trucul simetriei
- c) este $0$ , pentru că integrandul este o funcție impară
- d) este $- \frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) integrala nu există, pentru că funcția nu este integrabilă pe $[- 1, 1]$

Funcția $\frac{1}{x ^{3}}$ este într-adevăr impară pe $R^{*}$ , dar nu este definită în $0$ și este nemărginită în vecinătatea lui; o funcție integrabilă este obligatoriu mărginită, deci integrala nu există. Scurtătura „impară pe interval simetric” se aplică numai după ce integrabilitatea a fost verificată — aici verificarea o oprește.

Întrebări conexe

Ce substituție demonstrează lema oglinzii?

Cea care înlocuiește variabila cu opusul ei. Ea duce integrala de pe jumătatea din stânga într-una pe jumătatea din dreapta, schimbând și capetele; de acolo, semnul depinde de paritatea funcției. Se scrie în două rânduri și acoperă amândouă cazurile.

Ce formulă unificată acoperă și funcțiile fără paritate?

Egalitatea $\int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} (f (x) + f (- x)) d x$ . Ea nu cere nicio paritate: dacă funcția este pară, paranteza se dublează, iar dacă este impară, se anulează. Pentru celelalte funcții rămâne o rescriere folositoare.

Poate o funcție să fie și pară, și impară?

Doar funcția care ia valoarea zero peste tot. Din cele două condiții rezultă că valoarea în punctul opus este egală și cu valoarea inițială, și cu opusul ei, deci fiecare valoare este propriul opus. Integrala unei astfel de funcții este oricum zero.

Cum ajută trucul simetriei la integrala de la 0 la pi din x ori sinus de x?

Se scrie aceeași integrală cu variabila înlocuită prin diferența dintre capătul din dreapta și ea, apoi se adună cele două scrieri. Termenul cu variabila dispare, rămâne o integrală simplă de calculat, iar rezultatul este $π$ .

Ce simplificare aduce periodicitatea la o integrală?

Integrala unei funcții cu perioada $T$ este aceeași pe oricare bucată lungă cât o perioadă, deci capetele pot fi mutate acolo unde calculul iese comod. Peste $k$ perioade întregi rezultatul se înmulțește cu $k$ , iar restul de drum se socotește separat.

Oamenii mai întreabă și: integrala unei funcții impare · integrala unei funcții pare · interval simetric la integrale · integrala unei funcții periodice · trucul simetriei