În $$\displaystyle\int x^{2}e^{5x}\,dx$$, conform ordinii de prioritate la derivare, se derivează:

niciunul: integrala nu se rezolvă prin părți

Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int e^{3x}\sin x\,dx$$ este egală cu:

$$\dfrac{e^{3x}(3\sin x - \cos x)}{10} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{e^{3x}(3\sin x + \cos x)}{10} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{e^{3x}(\sin x - 3\cos x)}{10} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{e^{3x}(3\sin x - \cos x)}{4} + \mathcal{C}$$

Cât este integrala din e la x ori sinus de x?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Părți: alegerea și aplicarea repetată

Se notează cu $I$ o primitivă a funcției și se aplică formula părților de două ori, păstrând aceeași repartiție a rolurilor. Se ajunge la $I = e^{x} sin x - e^{x} cos x - I$ , adică la o ecuație de gradul întâi cu necunoscuta $I$ , de unde $\int e^{x} sin x d x = \frac{e ^{x} ( sin x - cos x )}{2} + C$ . Constanta se adaugă abia la final, după împărțirea la $2$ .

Regula descreșterii decide, în orice integrală, cine se derivează: factorul care se simplifică prin derivare (logaritm, arctangentă, polinom) și se integrează cel care nu se complică prin integrare ( $e^{a x}$ , $sin a x$ , $cos a x$ , puteri). Ordinea de prioritate la derivare este $ln x$ , $arctg x$ , $arcsin x$ , apoi $x^{n}$ , apoi $e^{a x}$ , $sin a x$ , $cos a x$ : cel care stă mai la stânga se derivează.

La $\int P (x) e^{a x} d x$ și la $\int P (x) sin a x d x$ formula se aplică de exact atâtea ori cât este gradul lui $P$ , păstrând aceeași repartiție a rolurilor; dacă la a doua aplicare schimbi rolurile, te întorci de unde ai plecat.

Tipul circular $\int e^{a x} sin b x d x$ se rezolvă altfel: se scrie „fie $I$ o primitivă a funcției”, se aplică formula de două ori, iar egalitatea obținută se tratează ca ecuație cu necunoscuta $I$ ; la numitor apare $a^{2} + b^{2}$ , iar $C$ se adaugă abia la final. Același truc rezolvă $\int x^{2} + a^{2} d x$ , prin părți cu factorul $1$ și rescrierea $x^{2} = (x^{2} + a^{2}) - a^{2}$ .

Când integrala depinde de un număr natural $n$ , aceeași aplicare repetată dă o relație de recurență între termeni.

De reținut

$\int e^{a x} sin b x d x$ : părți de două ori, apoi ecuație
$\int P (x) e^{a x} d x$ : de $grad P$ ori
derivezi ce se simplifică, integrezi ce nu se complică

Greșeala tipică

La a doua aplicare se schimbă rolurile factorilor. Se obține atunci identitatea $I = I$ , iar calculul se întoarce de unde a pornit; repartiția aleasă la primul pas se păstrează până la capăt.

Exerciții din această mini-lecție

În $\int x^{2} e^{5 x} d x$ , conform ordinii de prioritate la derivare, se derivează:
- a) niciunul: integrala nu se rezolvă prin părți
- b) $e^{5 x}$
- c) $x^{2}$
- d) ambii factori, pe rând
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x^{2}$

Puterea $x^{2}$ stă la stânga exponențialei în ordinea de prioritate, deci ea se derivează și coboară la $2 x$ , apoi la $2$ ; exponențiala $e^{5 x}$ se integrează fără să se complice. Alegerea inversă urcă gradul la $x^{3}$ , apoi la $x^{4}$ : integrala rămasă devine mai grea, semn sigur de repartiție greșită.
Pe $R$ , $\int e^{3 x} sin x d x$ este egală cu:
- a) $\frac{e ^{3 x} ( 3 sin x + cos x )}{10} + C$
- b) $\frac{e ^{3 x} ( 3 sin x - cos x )}{10} + C$
- c) $\frac{e ^{3 x} ( sin x - 3 cos x )}{10} + C$
- d) $\frac{e ^{3 x} ( 3 sin x - cos x )}{4} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{e ^{3 x} ( 3 sin x - cos x )}{10} + C$

Fie $I$ o primitivă; două aplicări cu aceeași repartiție dau $I = \frac{e ^{3 x} ( 3 sin x - cos x )}{10}$ , cu numitorul $a^{2} + b^{2} = 9 + 1 = 10$ . Verificare prin derivare: $\frac{3 e ^{3 x} ( 3 sin x - cos x ) + e ^{3 x} ( 3 cos x + sin x )}{10} = \frac{10 e ^{3 x} sin x}{10} = e^{3 x} sin x$ .
Pentru a calcula $\int x^{4} cos x d x$ , formula de integrare prin părți se aplică de:
- a) o dată
- b) două ori
- c) trei ori
- d) patru ori
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) patru ori

Fiecare aplicare coboară gradul polinomului cu o unitate: $x^{4} \to x^{3} \to x^{2} \to x \to 1$ , deci sunt necesare patru aplicări, toate cu aceeași repartiție (se derivează puterea, se integrează funcția trigonometrică). Numărul de aplicări este egal cu gradul polinomului.

Întrebări conexe

De ce apare a pătrat plus b pătrat la numitor la integralele circulare?

Pentru că fiecare aplicare a formulei scoate în față un factor. La $\int e^{a x} sin b x d x$ , după două aplicări apare din nou $I$ , înmulțit cu $\frac{b ^{2}}{a ^{2}}$ . Trecând termenul în stânga, coeficientul devine $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{a ^{2}}$ , iar la împărțire numitorul rămâne $a^{2} + b^{2}$ .

Unde se adaugă constanta la o integrală rezolvată ca ecuație?

Numai la sfârșit, după ce necunoscuta a fost izolată. Pe parcursul calculului $I$ desemnează o primitivă fixată, nu întreaga familie, altfel ecuația nu ar avea sens. Constanta pusă în mijlocul calculului ajunge împărțită la coeficientul final.

Cât este integrala din x pătrat ori e la x?

Formula se aplică de două ori, cât gradul polinomului, derivând de fiecare dată puterea: $\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C$ . Derivarea rezultatului readuce $x^{2} e^{x}$ . La un polinom de gradul al treilea ar fi nevoie de trei aplicări, cu aceleași roluri păstrate.

Ce se schimbă la integrala din e la ax ori cosinus de bx?

Metoda rămâne aceeași, dar apar constantele: $\int e^{a x} cos b x d x = \frac{e ^{a x} ( a cos b x + b sin b x )}{a ^{2} + b ^{2}} + C$ . Rolurile nu se schimbă între cele două aplicări, altfel egalitatea devine banală și calculul se întoarce la integrala de plecare.

Cum verific o integrală rezolvată prin părți de două ori?

Derivezi rezultatul și îl compari cu integrandul; la produsele de tip exponențială cu funcție trigonometrică, derivarea produce doi termeni care se reduc parțial. Un al doilea control: numitorul trebuie să fie $a^{2} + b^{2}$ , iar în paranteză să apară amândouă funcțiile trigonometrice.

Oamenii mai întreabă și: integrala din e la x ori sin x · integrale circulare · integrala care se întoarce · părți aplicate de două ori · e la x ori cosinus integrala