Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int (x - 4)\sin x\,dx$$ este egală cu:

$$-(x-4)\cos x + \sin x + \mathcal{C}$$

$$(x-4)\cos x - \sin x + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{(x-4)^{2}}{2}\cdot(-\cos x) + \mathcal{C}$$

$$-(x-4)\cos x - \sin x + \mathcal{C}$$

Pe intervalul $$(-1, 1)$$, $$\displaystyle\int \arccos x\,dx$$ este egală cu:

$$x\arccos x - \sqrt{1 - x^{2}} + \mathcal{C}$$

$$x\arccos x - \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \mathcal{C}$$

$$x\arccos x + \sqrt{1 - x^{2}} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \mathcal{C}$$

De ce se ia funcția $$g$$ fără constantă aditivă în formula integrării prin părți?

pentru că orice constantă adăugată la $$g$$ se anulează singură între cei doi termeni ai formulei

pentru că se pierde constanta finală $$\mathcal{C}$$

pentru că altfel formula ar fi falsă

pentru că $$g$$ nu are primitive

Cum se face integrarea prin părți?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrarea prin părți

Stabilești care factor se derivează și care se integrează, apoi scrii $\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$ , cu ambele funcții derivabile pe un interval și cu derivate continue. Trebuie ca ce a rămas de integrat să arate mai simplu decât la început. La $\int x e^{x} d x$ derivezi $x$ și integrezi $e^{x}$ : iese $x e^{x} - e^{x} + C$ , ceea ce se verifică imediat prin derivare.

Nu există o formulă pentru primitiva unui produs, dar există una care mută dificultatea: $\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$ . Se obține din regula de derivare a produsului, $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ , integrând și mutând un termen în celălalt membru. Ipotezele: $f$ și $g$ derivabile pe un interval $I$ , cu $f^{'}$ și $g^{'}$ continue acolo.

Cei trei pași: alegi cine se derivează și cine se integrează; cobori un rând cu fiecare factor ( $f \to f^{'}$ , $g^{'} \to g$ ); scrii formula și rezolvi integrala rămasă. Controlul obligatoriu este ca integrala rămasă să fie mai simplă decât cea de la care ai pornit; dacă e mai grea, ai schimbat rolurile.

Tipul de bază este „polinom de gradul întâi înmulțit cu $e^{x}$ , $sin x$ sau $cos x$ ”: se derivează polinomul, care coboară la o constantă. Funcțiile care nu par produse — $ln x$ , $arctg x$ , $arcsin x$ — se scriu ca produs cu factorul $1$ , care se integrează și dă $g (x) = x$ .

Două precizări de redactare: funcția $g$ se ia fără constantă aditivă, pentru că orice constantă adăugată se anulează singură între cei doi termeni; iar egalitatea a două integrale nedefinite este o egalitate între mulțimi de funcții, deci nu se „reduc” termeni din cei doi membri ca la numere.

De reținut

$\int f g^{'} d x = f g - \int f^{'} g d x$
$g$ se ia fără constantă aditivă
$ln x$ , $arctg x$ : produs cu factorul $1$

Greșeala tipică

Se derivează factorul care se complică. La $\int x e^{x} d x$ , integrarea puterii duce la $\frac{x ^{2}}{2}$ , apoi la $\frac{x ^{3}}{6}$ , iar semnalul este că integrala rămasă arată mai rău decât cea de la început.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ , $\int (x - 4) sin x d x$ este egală cu:
- a) $- (x - 4) cos x + sin x + C$
- b) $(x - 4) cos x - sin x + C$
- c) $\frac{( x - 4 ) ^{2}}{2} \cdot (- cos x) + C$
- d) $- (x - 4) cos x - sin x + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- (x - 4) cos x + sin x + C$

Cu $f (x) = x - 4$ și $g^{'} (x) = sin x$ avem $g (x) = - cos x$ , deci $\int (x - 4) sin x d x = - (x - 4) cos x + \int cos x d x = - (x - 4) cos x + sin x + C$ . Cele două minusuri — cel din formulă și cel din $g$ — se înmulțesc și dau plus; varianta cu $- sin x$ este exact greșeala de semn.
Pe intervalul $(- 1, 1)$ , $\int arccos x d x$ este egală cu:
- a) $x arccos x - \frac{x}{1 - x ^{2}} + C$
- b) $x arccos x + 1 - x^{2} + C$
- c) $\frac{1}{1 - x ^{2}} + C$
- d) $x arccos x - 1 - x^{2} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x arccos x - 1 - x^{2} + C$

Se scrie $arccos x = 1 \cdot arccos x$ , cu $f (x) = arccos x$ și $g (x) = x$ : $\int arccos x d x = x arccos x + \int \frac{x}{1 - x ^{2}} d x = x arccos x - 1 - x^{2} + C$ . Verificare: $(- 1 - x^{2})^{'} = \frac{x}{1 - x ^{2}}$ , care se simplifică exact cu termenul din formulă.
De ce se ia funcția $g$ fără constantă aditivă în formula integrării prin părți?
- a) pentru că se pierde constanta finală $C$
- b) pentru că orice constantă adăugată la $g$ se anulează singură între cei doi termeni ai formulei
- c) pentru că altfel formula ar fi falsă
- d) pentru că $g$ nu are primitive
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) pentru că orice constantă adăugată la $g$ se anulează singură între cei doi termeni ai formulei

Înlocuind $g$ cu $g + k$ , primul termen crește cu $k f$ , iar integrala scăzută crește cu $\int k f^{'} = k f$ ; diferența rămâne aceeași. Formula este deci corectă pentru orice primitivă a lui $g^{'}$ , iar cea mai simplă este întotdeauna suficientă. Constanta $C$ se scrie o singură dată, la final.

Întrebări conexe

Ce ipoteze cere formula integrării prin părți?

Cele două funcții trebuie să fie derivabile pe același interval $I$ , iar derivatele lor să fie continue acolo. Ipoteza asigură că amândouă integralele din formulă au sens. La examen se scrie într-un rând, înaintea calculului, împreună cu intervalul pe care se lucrează.

Cât este integrala din x ori cosinus de x?

Derivezi $x$ și integrezi $cos x$ , deci $g (x) = sin x$ : $\int x cos x d x = x sin x - \int sin x d x = x sin x + cos x + C$ . Verificare: derivata lui $x sin x + cos x$ este $sin x + x cos x - sin x$ , adică $x cos x$ . Alegerea vine din regula descreșterii: polinomul coboară la o constantă prin derivare, iar cosinusul nu se complică prin integrare.

De ce nu este integrala unui produs egală cu produsul integralelor?

Fiindcă nici derivarea unui produs nu dă produsul derivatelor. Dacă egalitatea ar avea loc, $\int x e^{x} d x$ ar fi $\frac{x ^{2}}{2} e^{x}$ ; derivând această expresie apar doi termeni, nu unul. Formula părților este tocmai corectarea acestei diferențe.

Ce înseamnă că egalitatea a două integrale nedefinite e între mulțimi?

Fiecare membru este o familie de funcții, nu o funcție anume. De aceea termenii nu se reduc dintr-o parte în alta ca la numere, iar $C$ apare o dată, la capătul rezolvării. Două scrieri corecte pot diferi printr-o constantă și rămân amândouă valabile.

Unde se pierde semnul minus la integrala din x ori sinus de x?

La $g (x) = - cos x$ . Formula scade integrala rămasă, iar acel minus se înmulțește cu minusul din $g$ și dă plus: $\int x sin x d x = - x cos x + sin x + C$ . Varianta cu $- sin x$ este exact greșeala de semn.

Oamenii mai întreabă și: formula de integrare prin părți · integrare prin părți exemple · cum aleg f și g prim · integrala unui produs · părți la primitive