Formula de integrare prin părți pentru integrala definită este:

$$\displaystyle\int_a^b fg{}' = fg\Big\vert_{a}^{b} - \displaystyle\int_a^b f{}'g$$

$$\displaystyle\int_a^b fg{}' = \displaystyle\int_a^b f \cdot \displaystyle\int_a^b g{}'$$

$$\displaystyle\int_a^b fg{}' = fg - \displaystyle\int_a^b f{}'g$$

$$\displaystyle\int_a^b fg{}' = fg\Big\vert_{a}^{b} + \displaystyle\int_a^b f{}'g$$

La $$\displaystyle\int_1^{e} x^{2}\ln x\,dx$$, regula descreșterii cere să derivezi:

niciunul: se face schimbare de variabilă

Cum aplic părțile la o integrală definită?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrarea prin părți la integrala definită

Cu formula $\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x)_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x$ , valabilă pentru funcții derivabile cu derivate continue pe intervalul închis. Termenul din capete este un număr, obținut înlocuind cele două limite. Factorii se aleg ca la primitive: derivezi ce se simplifică, integrezi ce nu se complică. Astfel, $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = 1$ , iar constanta nu apare nicăieri.

Pentru $f$ și $g$ derivabile, cu derivate continue pe $[a, b]$ , formula de integrare prin părți este $\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x)_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x$ . Ea se obține în trei rânduri, din derivata produsului și din formula Leibniz–Newton. Termenul din capete este un număr, $f (b) g (b) - f (a) g (a)$ ; scrierea lui fără bara cu limite pune o funcție în locul unui număr.

Alegerea factorilor se face cu regula descreșterii: derivezi ce se simplifică — polinomul, logaritmul, arctangenta — și integrezi ce nu se complică — exponențiala, sinusul, cosinusul, puterile. Dacă după prima aplicare integrala rămasă arată mai rău decât cea inițială, alegerea a fost greșită și se reia cu rolurile schimbate.

Patru familii cer metoda: polinom înmulțit cu exponențială sau cu funcție trigonometrică; funcția singură, cu $g^{'} (x) = 1$ (cazul lui $ln x$ și al lui $arctg x$ ); polinom înmulțit cu logaritm; integralele care „se întorc”, de tipul $\int_{a}^{b} e^{x} sin x d x$ , unde după două aplicări consecvente se obține o ecuație de gradul întâi în necunoscuta $I$ .

La un polinom de gradul al doilea formula se aplică de două ori, calculând termenul din capete imediat ce a fost scris. Constanta $C$ nu apare nicăieri: rezultatul este un număr.

De reținut

$\int_{a}^{b} f g^{'} d x = f g_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} g d x$
termenul din capete este un număr
$C$ nu apare la integrala definită

Greșeala tipică

Se scrie produsul celor două funcții fără bara cu limite. Rămâne atunci o funcție acolo unde se cere un număr, iar restul calculului amestecă expresii cu valori.

Exerciții din această mini-lecție

Formula de integrare prin părți pentru integrala definită este:
- a) $\int_{a}^{b} f g^{'} = \int_{a}^{b} f \cdot \int_{a}^{b} g^{'}$
- b) $\int_{a}^{b} f g^{'} = f g - \int_{a}^{b} f^{'} g$
- c) $\int_{a}^{b} f g^{'} = f g_{a}^{b} + \int_{a}^{b} f^{'} g$
- d) $\int_{a}^{b} f g^{'} = f g_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} g$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\int_{a}^{b} f g^{'} = f g_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} g$

Termenul din capete se evaluează între limite, iar integrala rămasă intră cu semnul minus. Varianta b) lasă o funcție acolo unde trebuie să fie un număr, varianta c) pierde semnul din derivata produsului, iar varianta a) inventează o regulă a produsului care nu există.
La $\int_{1}^{e} x^{2} ln x d x$ , regula descreșterii cere să derivezi:
- a) $x^{2}$
- b) $ln x$
- c) ambii factori, pe rând
- d) niciunul: se face schimbare de variabilă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $ln x$

Logaritmul se simplifică prin derivare, devenind $\frac{1}{x}$ , în timp ce $x^{2}$ se integrează fără să se complice, devenind $\frac{x ^{3}}{3}$ . Alegerea inversă ar cere primitiva lui $ln x$ și ar lăsa o integrală mai grea decât cea de la care ai pornit.
$\int_{0}^{1} x e^{- x} d x$ este egală cu:
- a) $1 - \frac{2}{e}$
- b) $\frac{2}{e} - 1$
- c) $1 - \frac{1}{e}$
- d) $2 - \frac{2}{e}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1 - \frac{2}{e}$

Cu $f (x) = x$ și $g^{'} (x) = e^{- x}$ , deci $g (x) = - e^{- x}$ : integrala este $- x e^{- x}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x = - \frac{1}{e} + (1 - \frac{1}{e}) = 1 - \frac{2}{e} \approx 0, 264$ . Varianta b) are semnul răsturnat, o urmare a minusului pierdut din $g$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă termenul din capete la integrarea prin părți?

Este diferența $f (b) g (b) - f (a) g (a)$ , adică un număr, nu o funcție. Se scrie cu bara verticală și cele două limite, iar dacă bara lipsește, în locul unui număr rămâne o expresie, ceea ce baremul sancționează la fiecare subpunct.

Cum se integrează prin părți o funcție care apare singură?

Se scrie ca produs cu $1$ și se ia $g^{'} (x) = 1$ , deci $g (x) = x$ . Așa se rezolvă integralele din logaritm sau din arctangentă: se derivează funcția dată, iar ce rămâne de integrat devine un raport de polinoame.

De câte ori se aplică formula la un polinom de gradul al doilea?

De două ori, cât gradul polinomului, fiindcă fiecare aplicare coboară gradul cu o unitate. Valoarea din capete se evaluează pe loc, ca să nu se adune expresii lungi, iar rolurile factorilor rămân aceleași la amândouă aplicările.

Când se calculează termenul din capete, la aplicarea repetată?

Imediat după fiecare aplicare, nu la sfârșit. Așa rămâi cu un număr și o integrală, în loc să duci expresii lungi până la capăt. Greșelile de semn apar mai ales atunci când toți termenii din capete se lasă neevaluați.

Cum se verifică rezultatul obținut prin părți?

Prin derivare, când s-a calculat o primitivă: derivata ei trebuie să dea înapoi integrandul. La integrala definită se compară numărul găsit cu o estimare grosieră, de pildă o valoare de mijloc înmulțită cu lungimea intervalului.

Oamenii mai întreabă și: integrare prin părți la integrala definită · formula părților cu limite · termenul din capete · integrala de la 0 la 1 din x ori e la x · părți sau substituție la integrale