Punctele comune a două cercuri distincte, scrise în formă generală, se află:

pe dreapta obținută scăzând cele două ecuații

pe dreapta care unește centrele

pe cercul cu centrul în mijlocul segmentului centrelor

Două conice pot avea cel mult:

o infinitate de puncte comune, dacă sunt de același tip

Câte puncte comune au două cercuri?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Intersecția a două conice

Cel mult două, mai puține decât cele patru posibile la o pereche oarecare de conice. Motivul este că, scăzând ecuațiile scrise în formă generală, pătratele se anulează reciproc și rămâne ecuația unei drepte, care cuprinde toate punctele comune. Problema se reduce astfel la intersecția acelei drepte cu unul dintre cercuri, iar acolo soluțiile sunt cel mult două.

Punctele comune a două conice sunt exact soluțiile reale ale sistemului format din ecuațiile lor, iar fiecare punct găsit se verifică obligatoriu în ambele ecuații — este singurul control care prinde o eroare de semn. Două conice au cel mult patru puncte comune, pentru că eliminarea unei variabile duce la o ecuație de gradul al patrulea cel mult; două cercuri au însă cel mult două.

La două cercuri scrise în formă generală, scăderea ecuațiilor elimină termenii de gradul al doilea și lasă o dreaptă care conține toate punctele comune, reducând problema la intersecția unei drepte cu un cerc. La un cerc și o parabolă se substituie $y^{2}$ din ecuația parabolei și se rețin numai rădăcinile cu abscisă nenegativă: o rădăcină negativă verifică ecuația obținută, dar nu corespunde niciunui punct al parabolei. La două conice care conțin doar pătratele variabilelor, notațiile $u = x^{2}$ și $v = y^{2}$ transformă sistemul într-unul liniar; soluțiile se acceptă numai dacă ambele valori sunt nenegative.

Numărul soluțiilor sistemului liniar nu este numărul punctelor: o singură pereche $(u, v)$ cu ambele valori strict pozitive dă patru puncte, prin cele două alegeri de semn ale fiecărei coordonate; dacă una dintre valori este nulă, punctele sunt doar două. Iar după ce ai găsit rădăcinile evidente ale unei ecuații de gradul al patrulea, trebuie arătat că factorul de gradul al doilea rămas nu are rădăcini reale.

De reținut

o pereche oarecare de conice: cel mult patru puncte comune; două cercuri: cel mult două
scăderea ecuațiilor a două cercuri lasă o dreaptă
notațiile $u = x^{2}$ și $v = y^{2}$ cer valori nenegative

Greșeala tipică

Se primesc soluții cu $u$ sau $v$ negativ. Notațiile acelea înseamnă pătrate, deci o valoare negativă arată că sistemul nu are soluții reale, adică cele două conice nu au niciun punct comun.

Exerciții din această mini-lecție

Punctele comune a două cercuri distincte, scrise în formă generală, se află:
- a) pe dreapta care unește centrele
- b) pe axa $O x$
- c) pe cercul cu centrul în mijlocul segmentului centrelor
- d) pe dreapta obținută scăzând cele două ecuații
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) pe dreapta obținută scăzând cele două ecuații

Cele două ecuații au aceiași termeni $x^{2} + y^{2}$ , deci scăderea lor îi elimină și lasă o ecuație de gradul întâi. Orice punct comun verifică ambele ecuații, deci și diferența lor: se află pe acea dreaptă. Problema se reduce astfel la intersecția unei drepte cu un cerc, iar dreapta obținută este perpendiculară pe linia centrelor.
Două conice pot avea cel mult:
- a) trei puncte comune
- b) patru puncte comune
- c) o infinitate de puncte comune, dacă sunt de același tip
- d) două puncte comune
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) patru puncte comune

Eliminând o variabilă între cele două ecuații de gradul al doilea se ajunge la o ecuație de gradul al patrulea cel mult, care are cel mult patru rădăcini reale. Cazul cercurilor este mai strâns: scăderea coboară gradul la unu, deci cel mult două puncte. Afirmația despre o infinitate ar cere curbe identice, nu conice distincte.
Într-un sistem rezolvat cu notațiile $u = x^{2}$ și $v = y^{2}$ , o soluție cu $u > 0$ și $v > 0$ dă:
- a) patru puncte comune
- b) niciun punct comun
- c) un punct comun
- d) două puncte comune
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) patru puncte comune

Din $x^{2} = u > 0$ rezultă $x = \pm u$ , iar din $y^{2} = v > 0$ rezultă $y = \pm v$ : cele două alegeri de semn, independente, dau $2 \cdot 2 = 4$ puncte, simetrice față de ambele axe. Dacă una dintre valori este nulă, punctele se reduc la două, iar dacă vreuna e negativă, nu există niciun punct real.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă dacă una dintre valorile $u$ sau $v$ este nulă?

Numărul punctelor scade de la patru la două. Notațiile $u = x^{2}$ și $v = y^{2}$ dau, pentru fiecare pereche cu ambele valori strict pozitive, câte două alegeri de semn pentru fiecare coordonată. Când una dintre ele iese zero, coordonata respectivă are o singură valoare.

Câte puncte dă o pereche $u$ , $v$ strict pozitivă?

Patru. Din $x^{2} = u$ ies două valori ale abscisei, iar din $y^{2} = v$ ies două ale ordonatei, deci combinațiile sunt $2 \cdot 2 = 4$ . Un singur rând din tabelul soluțiilor sistemului liniar ascunde astfel patru puncte pe desen.

Ce obțin scăzând ecuațiile a două cercuri?

O ecuație de gradul întâi, fiindcă termenii cu pătrate se reduc între ei. Dreapta obținută trece prin punctele comune ale cercurilor, dacă ele există, și se numește axă radicală. Înlocuind-o într-una dintre ecuațiile inițiale afli chiar punctele de intersecție.

Ce se face cu factorul de gradul al doilea rămas?

Se studiază separat, prin discriminant. După ce rădăcinile evidente au fost scoase dintr-o ecuație de gradul al patrulea, factorul care rămâne poate avea sau nu rădăcini reale, iar răspunsul depinde de asta. Trecerea peste el lasă demonstrația neterminată.

De ce nu este numărul soluțiilor sistemului liniar numărul punctelor?

Fiindcă fiecare pereche de valori pozitive se desface în mai multe puncte, prin alegerile de semn. O singură soluție a sistemului în $u$ și $v$ poate da patru puncte pe desen, iar cititorul grăbit ar raporta unul singur.

Ce grad are ecuația obținută eliminând o variabilă?

Cel mult patru. De aici iese și marginea de sus a numărului de puncte comune, iar la perechile în care gradul coboară numărul scade și el. Marginea aceasta este primul control asupra răspunsului: mai mult de patru puncte înseamnă sigur o greșeală.

Oamenii mai întreabă și: intersecția a două conice · două cercuri se taie · axa radicală · sistem cu două conice · câte puncte comune au două curbe