Dreapta $$y = 4$$ și parabola $$y^2 = 8x$$:

au exact un punct comun, $$(2, 4)$$, dar dreapta nu este tangentă

sunt tangente în punctul $$(2, 4)$$

Poziția dreptei $$y = \dfrac34 x + 2$$ față de hiperbola $$\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$$ este:

are exact un punct comun, fără a fi tangentă, fiind paralelă cu o asimptotă

secantă, cu două puncte comune

Când nu se aplică formula discriminantului?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Intersecția unei conice cu o dreaptă

Atunci când, după substituție, coeficientul lui $x^{2}$ se anulează: ecuația rămasă are gradul întâi și o soluție, fără ca dreapta să fie tangentă. Se întâmplă doar în două situații: la hiperbolă, când dreapta merge paralel cu o asimptotă, și la parabolă, când merge paralel cu axa. De aceea cercetarea acelui coeficient este un pas separat, înaintea discuției după semn.

Punctele comune ale unei drepte cu o conică sunt soluțiile sistemului format din cele două ecuații; substituția duce la o ecuație de gradul al doilea cel mult, deci punctele comune sunt cel mult două. Cei patru pași ai intersecției dreaptă–conică: alegi forma dreptei, substitui, verifici coeficientul lui $x^{2}$ și abia apoi discuți după semnul discriminantului.

Al treilea pas este cel sărit cel mai des. Dacă acel coeficient se anulează, formula discriminantului nu se aplică: ecuația este de gradul întâi și are exact o soluție. Se întâmplă numai la hiperbolă, pentru dreptele paralele cu o asimptotă ( $m = \pm \frac{b}{a}$ ), și la parabolă, pentru dreptele paralele cu axa ( $m = 0$ ); în ambele cazuri există un singur punct comun, fără ca dreapta să fie tangentă. Tangența înseamnă rădăcină dublă a unei ecuații de gradul al doilea, nu „un singur punct comun”.

Când coeficientul e nenul, $Δ > 0$ înseamnă secantă, $Δ = 0$ tangentă, $Δ < 0$ exterioară. Tabelul condițiilor de tangență pentru $y = m x + n$ : cerc $n^{2} = r^{2} (1 + m^{2})$ , elipsă $n^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$ , hiperbolă $n^{2} = a^{2} m^{2} - b^{2}$ , parabolă $2 mn = p$ . Dreapta fără pantă nu se scrie sub forma $y = m x + n$ : se substituie $x = x_{0}$ direct și se discută ecuația în $y$ , iar decizia se ia raportând dreapta la axa conicei, nu la axele reperului. Fiecare punct găsit se substituie în ambele ecuații.

De reținut

pașii: forma dreptei, substituția, coeficientul lui $x^{2}$ , apoi semnul lui $Δ$
$Δ > 0$ secantă, $Δ = 0$ tangentă, $Δ < 0$ exterioară
tangență: elipsă $n^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$ , parabolă $2 mn = p$

Greșeala tipică

Se declară tangentă orice dreaptă cu un singur punct comun. Tangența cere însă rădăcină dublă la o ecuație de grad doi: dreapta $y = 6$ întâlnește parabola $y^{2} = 12 x$ numai în $(3, 6)$ , iar tangenta adevărată în acel punct este $y = x + 3$ .

Exerciții din această mini-lecție

Dreapta $y = m x + n$ este tangentă elipsei $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ dacă și numai dacă:
- a) $n^{2} = a^{2} m^{2} - b^{2}$
- b) $n^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$
- c) $n^{2} = b^{2} m^{2} + a^{2}$
- d) $2 mn = b$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $n^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$

Substituind dreapta în ecuația elipsei și punând $Δ = 0$ se obține $n^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$ . Varianta cu minus este condiția de la hiperbolă, iar $2 mn = p$ este cea de la parabolă. Reține și controlul: pentru $m = 0$ condiția dă $n = \pm b$ , adică tangentele orizontale în vârfurile de pe axa mică.
Dreapta $y = 4$ și parabola $y^{2} = 8 x$ :
- a) au două puncte comune
- b) nu au niciun punct comun
- c) sunt tangente în punctul $(2, 4)$
- d) au exact un punct comun, $(2, 4)$ , dar dreapta nu este tangentă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) au exact un punct comun, $(2, 4)$ , dar dreapta nu este tangentă

Substituind $y = 4$ obținem $16 = 8 x$ , o ecuație de gradul întâi, cu soluția unică $x = 2$ . Dreapta este paralelă cu axa parabolei, deci coeficientul lui $x^{2}$ s-a anulat și criteriul $Δ$ nu se aplică. Un singur punct comun nu înseamnă tangență: tangenta în $(2, 4)$ are altă ecuație, obținută prin dedublare.
Poziția dreptei $y = \frac{3}{4} x + 2$ față de hiperbola $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ este:
- a) secantă, cu două puncte comune
- b) tangentă
- c) are exact un punct comun, fără a fi tangentă, fiind paralelă cu o asimptotă
- d) exterioară
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) are exact un punct comun, fără a fi tangentă, fiind paralelă cu o asimptotă

Asimptotele au pantele $\pm \frac{b}{a} = \pm \frac{3}{4}$ , iar dreapta are exact panta $\frac{3}{4}$ . La substituție, coeficientul lui $x^{2}$ devine $\frac{1}{16} - \frac{9/16}{9} = 0$ , deci rămâne o ecuație de gradul întâi, cu soluția unică $x = - \frac{13}{3}$ . Un singur punct comun, dar fără tangență.

Întrebări conexe

Ce condiție de tangență are o dreaptă la un cerc?

Egalitatea $n^{2} = r^{2} (1 + m^{2})$ , pentru cercul cu centrul în origine și dreapta $y = m x + n$ . Se ajunge la ea cerând ca discriminantul să se anuleze după substituție, iar înțelesul rămâne cel al condiției ca distanța de la centru la dreaptă să fie chiar raza.

Ce se întâmplă dacă discriminantul iese negativ?

Ecuația obținută prin substituție nu are soluții reale, deci dreapta și conica nu se întâlnesc nicăieri: dreapta este exterioară curbei. Concluzia se scrie în cuvinte, nu doar ca semn, fiindcă se cere legătura dintre semnul discriminantului și poziția geometrică.

Ce condiție de tangență are o dreaptă la o parabolă?

Relația $2 mn = p$ , unde $p$ este parametrul parabolei $y^{2} = 2 p x$ , iar dreapta se scrie $y = m x + n$ . Pentru $m = 0$ egalitatea nu poate fi îndeplinită, ceea ce arată din nou că dreptele paralele cu axa nu sunt tangente.

Ce înseamnă rădăcină dublă la intersecția dreaptă–conică?

Că ecuația de gradul al doilea obținută prin substituție are discriminantul nul, deci cele două puncte de intersecție se suprapun. Aceasta este definiția tangenței, mai strictă decât simpla existență a unui singur punct comun.

Ce condiție de tangență are o dreaptă la o hiperbolă?

Egalitatea $n^{2} = a^{2} m^{2} - b^{2}$ , pentru hiperbola cu axa reală pe orizontală. Membrul drept trebuie să iasă nenegativ, ceea ce înseamnă că panta o întrece în modul pe cea a asimptotelor; dreptele mai plate nu ating niciodată curba tangențial.

Ce se face cu fiecare punct de intersecție găsit?

Se substituie în amândouă ecuațiile din enunț, nu doar în una. Controlul acesta prinde erorile de semn apărute la rezolvarea sistemului și este singurul care arată dacă o soluție a ecuației finale corespunde într-adevăr unui punct al curbei.

Oamenii mai întreabă și: intersecția unei drepte cu o conică · condiția de tangență · discriminantul la conice · dreaptă paralelă cu asimptota · poziția dreptei față de conică