Care este inversa matricei $$A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$?

$$\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}$$

Care dintre afirmațiile despre matricea adjunctă $$A^{*}$$ este adevărată?

$$A^{*}$$ este transpusa matricei complemenților algebrici, iar $$A \cdot A^{*} = (\det A)\,I_n$$ pentru orice matrice pătratică

$$A^{*}$$ este chiar matricea complemenților algebrici, fără transpunere

$$A^{*}$$ se poate scrie numai dacă $$\det A \ne 0$$

$$A^{*} = \dfrac{1}{\det A}\,A^{-1}$$

Cum se calculează inversa unei matrice?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Inversa cu matricea adjunctă

Verifici întâi că $det A \neq = 0$ , apoi înlocuiești fiecare element cu complementul lui algebric, transpui tabloul obținut și împarți totul la determinant: $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$ . Pentru $(a c b d)$ regula se scurtează la schimbul elementelor de pe diagonala principală și schimbarea semnului celorlalte două. Controlul final este produsul cu matricea de pornire, care trebuie să dea $I_{n}$ .

Criteriul determinantului spune când există inversa; matricea adjunctă o construiește, iar piesele sunt complemenții algebrici pe care îi știi deja de la dezvoltarea după o linie.

Definiție. Matricea adjunctă $A^{*}$ este transpusa matricei complemenților algebrici: elementul de pe linia $i$ , coloana $j$ al lui $A^{*}$ este $δ_{j i}$ . Transpunerea este pasul cel mai des uitat — fără ea, la matricele nesimetrice rezultatul e greșit.

Teorema fundamentală. $A \cdot A^{*} = A^{*} \cdot A = (det A) I_{n}$ , pentru orice matrice pătratică. Demonstrația se sprijină pe două observații deja cunoscute: elementele unei linii înmulțite cu complemenții aceleiași linii dau $det A$ , iar înmulțite cu complemenții altei linii dau $0$ (fiindcă suma obținută este dezvoltarea unui determinant cu două linii identice).

Împărțind la $det A$ , când acesta e nenul, obținem $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$ — formula care încheie și demonstrația criteriului, la orice ordin. Relația $A \cdot A^{*} = (det A) I_{n}$ rămâne adevărată și când $det A = 0$ ; atunci ea spune doar că $A \cdot A^{*} = O_{n}$ .

Algoritmul, în cinci pași: calculezi $det A$ (dacă e $0$ , te oprești); calculezi cei $n^{2}$ complemenți; îi așezi în matricea complemenților; transpui; împarți la $det A$ și verifici prin $A \cdot A^{- 1} = I_{n}$ .

La ordinul $2$ algoritmul se strânge în rețeta rapidă: schimbi elementele de pe diagonala principală, schimbi semnul celorlalte două, împarți la determinant. Inversa are elemente întregi exact când $det A = \pm 1$ ; în rest, lasă factorul $\frac{1}{det A}$ în fața matricei.

De reținut

$A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$ , unde $A^{*} =^{t} (A_{ij})$
$A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ — semnul poziției nu se uită
Control: $A \cdot A^{- 1}$ trebuie să dea $I_{n}$

Greșeala tipică

Se așază complemenții algebrici în tablou și se împarte la determinant, fără transpunere. Rezultatul are elementele din afara diagonalei schimbate între ele, iar produsul de control nu mai dă matricea unitate.

Exerciții din această mini-lecție

Care este inversa matricei $A = (5332)$ ?
- a) $(2335)$
- b) $(5 - 3 - 3 2)$
- c) $(2 - 3 - 3 5)$
- d) $(- 2 3 3 - 5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(2 - 3 - 3 5)$

$det A = 5 \cdot 2 - 3 \cdot 3 = 1 \neq = 0$ . Se schimbă între ele elementele de pe diagonala principală ( $5$ cu $2$ ), se schimbă semnul celorlalte două și se împarte la $1$ . Verificare: $5 \cdot 2 + 3 \cdot (- 3) = 1$ și $5 \cdot (- 3) + 3 \cdot 5 = 0$ . Varianta a) uită schimbarea semnelor, iar b) uită schimbarea elementelor de pe diagonala principală.
Care dintre afirmațiile despre matricea adjunctă $A^{*}$ este adevărată?
- a) $A^{*}$ este transpusa matricei complemenților algebrici, iar $A \cdot A^{*} = (det A) I_{n}$ pentru orice matrice pătratică
- b) $A^{*}$ este chiar matricea complemenților algebrici, fără transpunere
- c) $A^{*}$ se poate scrie numai dacă $det A \neq = 0$
- d) $A^{*} = \frac{1}{det A} A^{- 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $A^{*}$ este transpusa matricei complemenților algebrici, iar $A \cdot A^{*} = (det A) I_{n}$ pentru orice matrice pătratică

Elementul de pe linia $i$ , coloana $j$ al lui $A^{*}$ este $δ_{j i}$ — cu indicii inversați, adică după transpunere. Relația $A \cdot A^{*} = (det A) I_{n}$ nu cere nimic: e adevărată și pentru matrice singulare, caz în care spune că $A \cdot A^{*} = O_{n}$ . Varianta d) răstoarnă formula: corectă este $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$ .
Pentru $A = 201 - 1 42 310$ , care este elementul de pe linia întâi și coloana a doua a matricei adjuncte $A^{*}$ ?
- a) $1$
- b) $- 6$
- c) $- 1$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $6$

Prin definiție, elementul de pe poziția $(1, 2)$ al lui $A^{*}$ este $δ_{21}$ , nu $δ_{12}$ — aici lucrează transpunerea. Minorul: $Δ_{21} = - 1 2 30 = 0 - 6 = - 6$ , iar semnul poziției $(2, 1)$ este $(- 1)^{3} = - 1$ , deci $δ_{21} = 6$ . Varianta a) este $δ_{12}$ , adică rezultatul obținut dacă uiți să transpui; varianta b) este minorul lăsat fără semn.

Întrebări conexe

Care sunt pașii calculului inversei la ordinul 3?

Calculezi determinantul, apoi cei nouă complemenți algebrici, fiecare fiind un determinant de ordinul $2$ cu semnul poziției. Așezi complemenții în tablou, transpui, iar la final împarți fiecare element la determinant.

Ce inversă are o matrice de ordinul 2, pe scurt?

Inversa lui $(a c b d)$ este $\frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ . Se rețin trei mișcări: valorile de pe diagonala principală își schimbă locurile, celelalte două își schimbă semnul, iar totul se împarte la determinant.

Ce dimensiune are matricea adjunctă?

Aceeași cu matricea de pornire, fiindcă fiecare poziție primește exact un complement algebric. Elementele ei sunt însă determinanți de ordinul $n - 1$ , deci calculul crește repede odată cu ordinul.

Cât face determinantul matricei adjuncte?

Este $(det A)^{n - 1}$ la ordinul $n$ . La ordinul $3$ , de pildă, determinantul adjunctei iese pătratul celui de pornire, ceea ce se folosește la exercițiile în care se cere doar o valoare, nu tabloul întreg.

Ce se întâmplă cu inversa dacă înmulțesc matricea cu un număr?

Inversa se împarte la acel număr: $(k A)^{- 1} = \frac{1}{k} A^{- 1}$ , pentru $k \neq = 0$ . Se verifică imediat înmulțind cele două expresii, fiindcă factorii numerici se pot muta liber prin produsul de matrice.

Cum aflu inversa unei matrice triunghiulare?

Rămâne triunghiulară de același tip, iar pe diagonală apar inversele elementelor. Restul pozițiilor se completează rezolvând pe rând egalitățile din produsul cu matricea unitate, de la diagonală spre colț.

Oamenii mai întreabă și: inversa cu matricea adjunctă · cum calculez inversa unei matrice de ordin 3 · formula inversei cu complemenți algebrici · A la minus unu formula