De ce grupul lui Klein nu este izomorf cu $$(\mathbb{Z}_4, +)$$?

pentru că în primul toate pătratele dau elementul neutru, iar în al doilea numai două

pentru că au numere diferite de elemente

pentru că unul este comutativ și celălalt nu

pentru că grupul lui Klein nu are element neutru

Care dintre următoarele perechi de grupuri este formată din grupuri izomorfe?

$$(\mathbb{Z}_5, +)$$ și $$(U_5, \cdot)$$

$$(\mathbb{Z}_6, +)$$ și $$(S_3, \circ)$$

$$(\mathbb{Z}_4, +)$$ și grupul lui Klein

$$(\mathbb{Z}, +)$$ și $$(\mathbb{Q}, +)$$

Ce înseamnă că două grupuri au aceeași formă?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Izomorfisme de grupuri

Că există între ele un morfism bijectiv, numit izomorfism, și se scrie $G ≃ G^{'}$ . Cele două mulțimi pot fi făcute din obiecte cu totul deosebite — numere într-una, matrice sau funcții în cealaltă —, însă relațiile dintre elemente se copiază una pe alta, iar după redenumire tablele coincid. Rămân aceleași: câte elemente sunt, dacă operația comută, unde stă neutrul, ce ordin are fiecare element și cum se așază subgrupurile.

Un izomorfism de grupuri este un morfism bijectiv; când există unul între $(G, \cdot)$ și $(G^{'}, *)$ , grupurile se numesc izomorfe și se scrie $G ≃ G^{'}$ . Ele nu sunt egale ca mulțimi — pot fi făcute din numere, matrice, funcții sau clase de resturi —, dar au aceeași formă: aceleași relații între elemente, aceeași tablă după redenumire. Inversa unui izomorfism și compunerea a două izomorfisme sunt tot izomorfisme, deci relația este reflexivă, simetrică și tranzitivă.

Compararea a două table finite are trei pași: numărul de elemente, potrivirea elementelor neutre, apoi trăsăturile care nu se schimbă la redenumire — cea mai utilă fiind diagonala principală, unde stau pătratele $x^{2}$ . Așa se arată că grupul lui Klein și $(Z_{4}, +)$ , deși au patru elemente și sunt amândouă comutative, nu sunt izomorfe: la Klein toate cele patru pătrate dau neutrul, la $Z_{4}$ doar două. În schimb $(Z_{n}, +) ≃ (U_{n}, \cdot)$ pentru orice $n \geq 2$ , izomorfismul fiind $f (\hat{k}) = ε_{k}$ . Rețeta pentru „arătați că $(G, *)$ este grup izomorf cu unul cunoscut” are trei pași: propui funcția (pentru $x * y = (x - a) (y - a) + a$ ea este $f (x) = x - a$ ), verifici morfismul cu litere, verifici bijectivitatea scriind inversa. Prin izomorfism se păstrează cardinalul, comutativitatea, neutrul, ordinele, ciclicitatea și structura subgrupurilor.

De reținut

izomorfism = morfism bijectiv; existența lui se notează $G ≃ G^{'}$
$(Z_{n}, +) ≃ (U_{n}, \cdot)$ prin $f (\hat{k}) = ε_{k}$
se păstrează cardinalul, comutativitatea, ordinele și ciclicitatea

Greșeala tipică

Se declară izomorfe două grupuri doar fiindcă au tot atâtea elemente. Cardinalul este primul filtru și poate respinge, dar nu confirmă: grupul lui Klein și $(Z_{4}, +)$ îl trec amândouă și rămân totuși neizomorfe.

Exerciții din această mini-lecție

Pe intervalul $(20, + \infty)$ se definește legea $x * y = x y - 20 x - 20 y + 420$ . Funcția care realizează izomorfismul $((20, + \infty), *) ≃ (R_{+}^{*}, \cdot)$ este:
- a) $f (x) = x - 20$
- b) $f (x) = x + 20$
- c) $f (x) = 20 x$
- d) $f (x) = x - 420$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f (x) = x - 20$

Scriem legea în forma factorizată: $(x - 20) (y - 20) + 20 = x y - 20 x - 20 y + 400 + 20 = x y - 20 x - 20 y + 420$ . Pentru o lege de tipul $x * y = (x - a) (y - a) + a$ , funcția potrivită este întotdeauna $f (x) = x - a$ , aici $f (x) = x - 20$ . Verificare: $f (x * y) = (x - 20) (y - 20) = f (x) \cdot f (y)$ , iar inversa $f^{- 1} (u) = u + 20$ arată bijectivitatea.
De ce grupul lui Klein nu este izomorf cu $(Z_{4}, +)$ ?
- a) pentru că au numere diferite de elemente
- b) pentru că unul este comutativ și celălalt nu
- c) pentru că în primul toate pătratele dau elementul neutru, iar în al doilea numai două
- d) pentru că grupul lui Klein nu are element neutru
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) pentru că în primul toate pătratele dau elementul neutru, iar în al doilea numai două

Ambele au patru elemente și ambele sunt comutative, deci primele două filtre nu decid nimic. Deosebirea se citește pe diagonala principală: la grupul lui Klein toate cele patru celule conțin neutrul, iar la $(Z_{4}, +)$ diagonala este $\hat{0}, \hat{2}, \hat{0}, \hat{2}$ . Cum un izomorfism păstrează numărul de elemente cu $x^{2} = e$ , grupurile nu pot fi izomorfe.
Care dintre următoarele perechi de grupuri este formată din grupuri izomorfe?
- a) $(Z_{6}, +)$ și $(S_{3}, \circ)$
- b) $(Z_{5}, +)$ și $(U_{5}, \cdot)$
- c) $(Z_{4}, +)$ și grupul lui Klein
- d) $(Z, +)$ și $(Q, +)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(Z_{5}, +)$ și $(U_{5}, \cdot)$

Teorema lecției spune că $(Z_{n}, +) ≃ (U_{n}, \cdot)$ pentru orice $n \geq 2$ , prin $f (\hat{k}) = ε_{k}$ ; pentru $n = 5$ avem deci perechea izomorfă. Perechile $(Z_{6}, +)$ – $(S_{3}, \circ)$ și $(Z_{4}, +)$ – grupul lui Klein au același cardinal, dar $(S_{3}, \circ)$ nu este comutativ, iar grupul lui Klein nu este ciclic; perechea $(Z, +)$ – $(Q, +)$ este formată din grupuri infinite care nu sunt izomorfe, pentru că $(Z, +)$ este ciclic, iar $(Q, +)$ nu.

Întrebări conexe

Ce se citește pe diagonala principală a tablei unui grup?

Pătratele elementelor, adică valorile $x * x$ . Este trăsătura care nu se schimbă la redenumire și de aceea desparte repede două grupuri cu același număr de elemente: în grupul lui Klein toate cele patru pătrate dau neutrul, iar în $(Z_{4}, +)$ numai două.

Este inversa unui izomorfism tot izomorfism?

Da. Inversa unei bijecții este bijecție, iar condiția de morfism se transferă aplicând $f^{- 1}$ ambilor membri. Tot așa, compunerea a două izomorfisme rămâne izomorfism, prin urmare relația dintre grupuri este reflexivă, simetrică și tranzitivă.

Ce funcție se propune pentru legea $(x - a) (y - a) + a$ ?

Funcția $f (x) = x - a$ , care mută totul cu $a$ spre stânga și transformă legea în înmulțirea obișnuită. Se verifică apoi condiția de morfism cu litere și bijectivitatea, scriind inversa $f^{- 1} (t) = t + a$ . Grupul obținut este izomorf cu $(R_{+}^{*}, \cdot)$ .

Câte verificări cere demonstrarea unui izomorfism?

Două, punctate separat în barem: condiția de morfism și bijectivitatea. Prima se face prin calcul literal, a doua cel mai curat prin scrierea funcției inverse. O funcție care păstrează operația fără să fie bijecție rămâne doar morfism.

Ce trebuie verificat în plus față de morfism ca să ai izomorfism?

Bijectivitatea. Trecerea la clasa de resturi, $f (k) = \hat{k}$ , păstrează adunarea, deci este morfism, dar strânge o infinitate de întregi într-o singură clasă, deci nu e injectivă. Fără bijectivitate, cele două grupuri pot avea chiar cardinale diferite.

Pot fi izomorfe două grupuri făcute din obiecte diferite?

Da, și tocmai asta face noțiunea folositoare. Clasele de resturi modulo $n$ și rădăcinile de ordinul $n$ ale unității sunt obiecte de naturi diferite, dar funcția $f (\hat{k}) = ε_{k}$ le pune în corespondență. Izomorfismul privește relațiile dintre elemente, nu materia lor.

Oamenii mai întreabă și: ce este un izomorfism de grupuri · grupuri izomorfe · cum arăt că două grupuri sunt izomorfe · tabla a două grupuri izomorfe · ce se păstrează prin izomorfism