Translația $$t_a$$ a dreptei invariază diviziunea echidistantă de pas $$d = 7$$ dacă și numai dacă:

$$a$$ este multiplu întreg al lui $$7$$

Ce este o diviziune echidistantă a unei drepte?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Izomorfisme remarcabile

Este mulțimea punctelor marcate pe o dreaptă cu reper la distanțe egale, având abscisele multiplii întregi ai unui pas $d > 0$ ; abscisele formează deci mulțimea $d Z$ . Translația $t_{a} (x) = x + a$ o duce în ea însăși dacă și numai dacă $a = k d$ , cu $k$ întreg. Sensul greu al echivalenței se rezolvă scurt: imaginea originii este chiar $a$ , iar ea trebuie să rămână punct marcat.

Pe o dreaptă cu reper, translația de pas $a$ este $t_{a} : R \to R$ , $t_{a} (x) = x + a$ , iar compunerea copiază adunarea pașilor: $t_{a} \circ t_{b} = t_{a + b}$ . De aici, $(T, \circ)$ este grup comutativ, cu neutrul $t_{0}$ și cu $t_{a}^{- 1} = t_{- a}$ . Dacă marcăm punctele de abscise multipli întregi de $d > 0$ , obținem diviziunea echidistantă de pas $d$ , cu mulțimea absciselor $d Z$ ; translația $t_{a}$ o invariază dacă și numai dacă $a = k d$ cu $k \in Z$ — partea grea se scrie într-un rând, aplicând translația originii: $a = t_{a} (0) \in d Z$ . Grupul acestor translații, $D_{d} = {t_{k d} ∣ k \in Z}$ , este izomorf cu $(Z, +)$ prin $φ (k) = t_{k d}$ , deci este comutativ, infinit și ciclic.

Al doilea izomorfism remarcabil este $f : Z_{n} \to U_{n}$ , $f (\hat{k}) = ε^{k}$ , cu $ε = ε_{1}$ . Aici trebuie verificată întâi buna definire: o clasă are o infinitate de reprezentanți, iar din $\hat{k} = \hat{j}$ rezultă $ε^{k} = ε^{j}$ tocmai pentru că $ε^{n} = 1$ . Al treilea leagă clasele de geometrie: rotațiile care păstrează un poligon regulat cu $n$ laturi sunt exact $R_{n} = {R_{\frac{2 k π}{n}} ∣ k = 0, \dots, n - 1}$ , iar $g (\hat{k}) = R_{\frac{2 k π}{n}}$ este izomorfism. Prin tranzitivitate se obține lanțul $(Z_{n}, +) ≃ (U_{n}, \cdot) ≃ (R_{n}, \circ)$ — o descriere aritmetică, una algebrică și una geometrică ale aceluiași grup ciclic. Profilul ordinelor se calculează o dată, în $Z_{n}$ , și se citește pe toate trei.

De reținut

$t_{a} \circ t_{b} = t_{a + b}$ , iar $t_{a}$ păstrează $d Z$ dacă și numai dacă $a = k d$
$φ (k) = t_{k d}$ este izomorfism între $(Z, +)$ și $D_{d}$
$(Z_{n}, +) ≃ (U_{n}, \cdot) ≃ (R_{n}, \circ)$

Greșeala tipică

Se sare peste verificarea bunei definiri la o funcție dată pe clase de resturi. Până nu arăți că reprezentanți diferiți duc la același rezultat, funcția nici nu există, iar pasul se punctează separat.

Exerciții din această mini-lecție

Translația $t_{a}$ a dreptei invariază diviziunea echidistantă de pas $d = 7$ dacă și numai dacă:
- a) $a = 7$
- b) $a$ este multiplu întreg al lui $7$
- c) $a > 0$
- d) $a$ este număr întreg
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a$ este multiplu întreg al lui $7$

Condiția este $a \in 7 Z$ , adică $a = 7 k$ cu $k$ întreg. Demonstrația părții grele încape într-un rând: punctul $0$ aparține diviziunii, deci imaginea lui, $t_{a} (0) = a$ , trebuie să aparțină tot diviziunii. Varianta $a = 7$ dă doar generatorul grupului; $a > 0$ exclude greșit translațiile spre stânga, iar „ $a$ întreg” ar accepta $a = 3$ , care mută semnele.
În lanțul $(Z_{12}, +) ≃ (U_{12}, \cdot) ≃ (R_{12}, \circ)$ , clasei $\hat{3}$ îi corespunde rotația:
- a) $R_{\frac{π}{2}}$
- b) $R_{\frac{π}{4}}$
- c) $R_{\frac{π}{6}}$
- d) $R_{\frac{3 π}{2}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $R_{\frac{π}{2}}$

Izomorfismul este $g (\hat{k}) = R_{\frac{2 k π}{n}}$ , deci pentru $n = 12$ și $k = 3$ obținem $R_{\frac{6 π}{12}} = R_{\frac{π}{2}}$ . Varianta $R_{\frac{π}{6}}$ este imaginea lui $\hat{1}$ , adică generatorul; varianta $R_{\frac{π}{4}}$ împarte $π$ la $k$ , iar $R_{\frac{3 π}{2}}$ confundă indicele $3$ cu unghiul $3 π$ .
Ordinul rotației $R_{\frac{4 π}{3}}$ în grupul $(R_{12}, \circ)$ al rotațiilor poligonului regulat cu $12$ laturi este:
- a) $12$
- b) $8$
- c) $4$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3$

Scriem unghiul în forma $\frac{2 k π}{12}$ : din $\frac{4 π}{3} = \frac{16 π}{12} = \frac{2 \cdot 8 π}{12}$ rezultă $k = 8$ . Prin izomorfism, ordinul rotației este ordinul clasei $\hat{8}$ în $(Z_{12}, +)$ , adică $\frac{12}{( 8 , 12 )} = \frac{12}{4} = 3$ . Verificare geometrică: rotația cu $24 0^{\circ}$ aplicată de trei ori dă $72 0^{\circ}$ , adică poziția inițială.

Întrebări conexe

De ce sunt ciclice grupurile obținute prin izomorfismele remarcabile?

Fiindcă fiecare este izomorf cu $(Z, +)$ sau cu $(Z_{n}, +)$ , iar ciclicitatea trece prin izomorfism. Generatorul se mută împreună cu structura: din $1$ iese translația de pas $d$ , iar din $\hat{1}$ iese rotația de unghi $\frac{2 π}{n}$ .

Ce se transmite prin tranzitivitatea relației de izomorfism?

Dacă un grup este izomorf cu al doilea, iar al doilea cu al treilea, atunci primul este izomorf cu al treilea, funcția potrivită fiind compunerea celor două. Așa se leagă într-un singur lanț cele trei structuri ale lecției: rotațiile unui poligon regulat, rădăcinile unității și clasele modulo $n$ .

Cum se arată că $a$ este multiplu de $d$ aplicând translația originii?

Originea are abscisa $0$ , care aparține mulțimii $d Z$ . Dacă translația păstrează diviziunea, atunci imaginea originii rămâne un punct marcat, iar acea imagine este chiar $a$ . Prin urmare $a$ se află în $d Z$ , adică este multiplu întreg al pasului.

Ce grup formează translațiile care păstrează punctele marcate pe o dreaptă?

Mulțimea $D_{d} = {t_{k d} ∣ k \in Z}$ , grup comutativ față de compunere. Neutrul este translația de pas zero, iar inversa lui $t_{k d}$ este $t_{- k d}$ . Compunerea adună pașii, deci structura copiază exact adunarea numerelor întregi.

De ce este infinit grupul translațiilor de pas multiplu de $d$ ?

Pentru că fiecărui întreg $k$ îi corespunde o translație diferită, $t_{k d}$ , iar întregii sunt o infinitate. Două valori diferite ale lui $k$ dau translații diferite, fiindcă mută originea în puncte diferite, deci corespondența nu comprimă nimic.

Ce reprezentanți diferiți pot da aceeași clasă de resturi?

Toți întregii care diferă printr-un multiplu al modulului: modulo $5$ , numerele $2$ , $7$ , $12$ și $- 3$ dau aceeași clasă. De aceea, la o funcție definită pe clase printr-o formulă cu reprezentanți, trebuie arătat că fiecare dintre ei duce la același rezultat.

Oamenii mai întreabă și: diviziune echidistantă · translațiile care păstrează o diviziune · izomorfism între Z și translații · buna definire a unei funcții pe clase · clase de resturi și rotații