Media aritmetică $$x \ast y = \dfrac{x + y}{2}$$ nu este lege de compoziție pe $$\mathbb{Z}$$. Care este motivul exact?

rezultatul poate ieși din $$\mathbb{Z}$$

expresia nu are sens pentru toate perechile de întregi

Care dintre afirmații este adevărată?

media aritmetică este lege de compoziție pe $$\mathbb{Q}$$

scăderea este lege de compoziție pe $$\mathbb{N}$$

împărțirea este lege de compoziție pe $$\mathbb{R}$$

$$\max$$ este lege de compoziție pe $$\mathbb{C}$$

Ce este o lege de compoziție?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Legea de compoziție

Este o regulă care ia două elemente dintr-o mulțime $M$ , în ordinea dată, și le asociază tot un element din $M$ . Se cer două lucruri: expresia să aibă sens pentru orice pereche și rezultatul să nu iasă din mulțime. Adunarea este lege pe $N$ , dar scăderea nu, fiindcă $2 - 5 = - 3$ pleacă din $N$ . Verdictul se spune mereu odată cu mulțimea.

O lege de compoziție (operație algebrică binară) pe o mulțime nevidă $M$ este o funcție $* : M \times M \to M$ , care asociază fiecărei perechi ordonate $(x, y)$ un singur element $x * y$ , numit compusul lui $x$ cu $y$ . Definiția ascunde două cerințe: expresia trebuie să aibă sens pentru orice pereche din $M \times M$ , iar rezultatul trebuie să rămână tot în $M$ . De aici, exact două motive de respingere: operația nu e definită peste tot (împărțirea pe $R$ , din cauza lui $0$ ) sau rezultatul iese din mulțime (scăderea pe $N$ , unde $2 - 5 = - 3$ ).

Verdictul se rostește întotdeauna împreună cu mulțimea: scăderea este lege de compoziție pe $Z$ , dar nu pe $N$ . Pentru a respinge ajunge un singur contraexemplu; pentru a accepta e nevoie de o demonstrație cu litere, valabilă pentru orice pereche.

La examen legea vine, de obicei, printr-o formulă. Pentru $x * y = x y - a x - a y + b$ , forma factorizată $x * y = (x - a) (y - a) + a$ există exact atunci când $b = a^{2} + a$ ; ea se scrie alături de formulă, după ce ai desfăcut parantezele și ai verificat. Perechea $(x, y)$ fiind ordonată, $x * y$ și $y * x$ nu au niciun motiv să coincidă. Definiția nu pomenește numere, așa că legi de compoziție există și pe $M_{2} (R)$ , pe mulțimea funcțiilor $F (R)$ sau pe $P (E)$ .

De reținut

legea duce perechea $(x, y)$ din $M \times M$ tot într-un element al lui $M$
respingerea cere un contraexemplu, acceptarea cere demonstrație cu litere
aceeași formulă poate fi lege pe o mulțime și să nu fie pe alta

Greșeala tipică

Se spune „scăderea este lege de compoziție”, fără să se precizeze mulțimea. Afirmația e adevărată pe numerele întregi și falsă pe cele naturale, deci mulțimea face parte din răspuns.

Exerciții din această mini-lecție

Media aritmetică $x * y = \frac{x + y}{2}$ nu este lege de compoziție pe $Z$ . Care este motivul exact?
- a) rezultatul poate ieși din $Z$
- b) expresia nu are sens pentru toate perechile de întregi
- c) legea nu este comutativă
- d) legea nu are element neutru
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) rezultatul poate ieși din $Z$

Expresia $\frac{x + y}{2}$ are sens pentru orice pereche de întregi, deci prima condiție e îndeplinită; pică a doua: $\frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} \in / Z$ . Varianta b confundă cele două motive de respingere — „nu e definită” e cazul împărțirii pe $R$ , unde numitorul se anulează. Variantele c și d invocă proprietăți care nici măcar nu se pun în discuție înainte ca operația să fie lege de compoziție.
Pe $R$ se consideră $x * y = x y - 14 x - 14 y + d$ . Forma factorizată $x * y = (x - 14) (y - 14) + 14$ există exact pentru:
- a) $d = 196$
- b) $d = 182$
- c) $d = 210$
- d) $d = 28$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $d = 210$

Criteriul este $d = a^{2} + a$ cu $a = 14$ , adică $d = 196 + 14 = 210$ . Verificare: $(x - 14) (y - 14) + 14 = x y - 14 x - 14 y + 196 + 14$ . Varianta $196$ vine din uitarea termenului $+ a$ la desfacerea parantezelor, $182 = a^{2} - a$ inversează semnul, iar $28 = 2 a$ nu are legătură cu identitatea.
Care dintre afirmații este adevărată?
- a) scăderea este lege de compoziție pe $N$
- b) împărțirea este lege de compoziție pe $R$
- c) $max$ este lege de compoziție pe $C$
- d) media aritmetică este lege de compoziție pe $Q$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) media aritmetică este lege de compoziție pe $Q$

Media a două numere raționale este rațională, deci d este corectă. Scăderea pică pe $N$ ( $2 - 5 = - 3$ ), împărțirea pică pe $R$ pentru că $3 : 0$ nu are sens, iar $max$ nu are sens pe $C$ , mulțimea numerelor complexe nefiind ordonată. Fiecare verdict se dă împreună cu mulțimea — aceeași formulă poate fi lege pe o mulțime și să nu fie pe alta.

Întrebări conexe

Care sunt cele două motive pentru care o operație nu este lege de compoziție?

Ori expresia nu are sens pentru toate perechile, ori rezultatul iese din mulțime. Împărțirea cade la primul motiv, din cauza numitorului zero, iar scăderea pe numere naturale cade la al doilea. Alt motiv nu există, deci verificarea se face pe exact aceste două direcții.

De ce împărțirea nu este lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale?

Fiindcă perechea $(3, 0)$ nu primește niciun rezultat: împărțirea la zero nu are sens. O lege trebuie definită pentru absolut toate perechile ordonate, fără excepții. Pe $R^{*}$ situația se schimbă, acolo împărțirea chiar este lege de compoziție.

Ce înseamnă compusul a două elemente?

Este chiar rezultatul operației, scris $x * y$ și citit „x compus cu y”. Denumirea nu depinde de semnul folosit: la adunare i se spune sumă, la înmulțire produs, iar la o lege oarecare rămâne compus. El trebuie să aparțină mulțimii pe care lucrezi.

Pe ce mulțimi în afară de numere se pot defini legi de compoziție?

Pe orice mulțime nevidă. Definiția nu cere numere, așa că se lucrează la fel cu matricele de ordinul al doilea, cu funcțiile de la o mulțime la ea însăși sau cu submulțimile unei mulțimi date. Adunarea matricelor și compunerea funcțiilor sunt exemplele obișnuite.

Ce ajunge ca să resping o operație ca lege de compoziție?

Un singur contraexemplu, calculat complet. Arăți o pereche concretă din mulțime pentru care rezultatul iese afară sau nu există, și ai încheiat. Pentru a accepta, dimpotrivă, trebuie o demonstrație scrisă cu litere, care să acopere orice pereche ordonată.

De ce verdictul se rostește împreună cu mulțimea?

Fiindcă aceeași formulă poate fi lege pe o mulțime și să nu fie pe alta. Scăderea funcționează pe $Z$ , dar nu pe $N$ ; înmulțirea funcționează pe amândouă. Fără mulțime, propoziția „scăderea este lege de compoziție” nu are valoare de adevăr.

Oamenii mai întreabă și: lege de compoziție · operație algebrică pe o mulțime · ce înseamnă o operație internă · cum arăt că o operație e lege de compoziție · compusul a două elemente