Legea $$x \ast y = xy + a(x+y) + b$$, definită pe $$\mathbb{R}$$, este asociativă dacă și numai dacă:

pentru orice valori ale lui $$a$$ și $$b$$

În rețeta determinării parametrului, folosirea unor valori particulare pentru $$x$$, $$y$$, $$z$$:

dă o condiție necesară, care trebuie apoi verificată în general

nu aduce nicio informație utilă

Cum aflu parametrul unei legi de compoziție?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Legi cu parametri

Rezolvarea are două jumătăți, amândouă obligatorii. Întâi alegi câteva valori potrivite, impui proprietatea cerută și scoți din ele o condiție necesară pentru parametru. Apoi verifici egalitatea în general, cu litere. Pentru familia $x * y = x y + a (x + y) + b$ , asociativitatea are loc exact când $b = a^{2} - a$ , iar comutativitatea este asigurată pentru orice valori, formula fiind simetrică.

O lege de compoziție cu parametru este o formulă în care, pe lângă $x$ și $y$ , apar litere fixe; fiecare valoare a parametrului dă altă lege, deci formula descrie o familie întreagă, iar problema cere membrii familiei care au o proprietate dată.

Rețeta are două jumătăți obligatorii. Pasul 1: impui egalitatea pentru valori particulare bine alese și obții o condiție necesară asupra parametrului. Pasul 2: verifici egalitatea în general, cu $x$ , $y$ , $z$ oarecare. Fără pasul 2 rezolvarea e incompletă, iar baremul taie punctele.

Pentru familia $x * y = x y + a (x + y) + b$ pe $R$ , diferența celor doi membri ai asociativității este $(b + a - a^{2}) (z - x)$ , de unde: legea este asociativă dacă și numai dacă $b = a^{2} - a$ . Identitatea explică și de ce valorile particulare trebuie luate cu $x \neq = z$ . Legea este comutativă pentru orice $a$ și $b$ , formula fiind simetrică.

Când $b = a^{2} - a$ , forma factorizată este $x * y = (x + a) (y + a) - a$ , elementul neutru este $e = 1 - a$ , simetricul este $x^{'} = \frac{1}{x + a} - a$ (deci $- a$ nu are simetric), iar $(- a, + \infty)$ este parte stabilă.

Pentru $x * y = a x y + b (x + y) + c$ cu $a \neq = 0$ , condiția devine $a c + b = b^{2}$ — ecuație de gradul al doilea, deci pot fi două valori —, iar $e = \frac{1 - b}{a}$ .

De reținut

pasul necesar și verificarea generală se cer amândouă
$x * y = x y + a (x + y) + b$ este asociativă exact când $b = a^{2} - a$
forma factorizată dă $e = 1 - a$ și $x^{'} = \frac{1}{x + a} - a$

Greșeala tipică

Se oprește rezolvarea după ce s-a găsit parametrul din valori particulare. Acela dă doar o condiție necesară; proprietatea trebuie apoi verificată cu litere, pentru orice elemente.

Exerciții din această mini-lecție

Legea $x * y = x y + a (x + y) + b$ , definită pe $R$ , este asociativă dacă și numai dacă:
- a) $b = a^{2} + a$
- b) $b = a^{2} - a$
- c) $a = b$
- d) pentru orice valori ale lui $a$ și $b$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $b = a^{2} - a$

Din identitatea $(x * y) * z - x * (y * z) = (b + a - a^{2}) (z - x)$ rezultă că diferența este nulă pentru orice $x, y, z$ exact când $b + a - a^{2} = 0$ , adică $b = a^{2} - a$ . Varianta a este condiția scrisă pentru cealaltă convenție de semn, $x * y = x y - a x - a y + b$ , unde litera $a$ este opusul celei de aici — de aceea formulele memorate se aplică doar după ce verifici ce rol are fiecare literă.
Pe $R$ se consideră $x * y = 2 x y + m (x + y) + 6$ . Legea este asociativă pentru:
- a) doar $m = 4$
- b) doar $m = - 3$
- c) $m \in {4, - 3}$
- d) nicio valoare a lui $m$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $m \in {4, - 3}$

Condiția pentru familia $a x y + b (x + y) + c$ este $a c + b = b^{2}$ , aici $2 \cdot 6 + m = m^{2}$ , adică $m^{2} - m - 12 = 0$ , cu $Δ = 49$ și soluțiile $m_{1} = 4$ , $m_{2} = - 3$ . Amândouă trec verificarea generală: $2 (x * y) + 4 = (2 x + 4) (2 y + 4)$ , respectiv $2 (x * y) - 3 = (2 x - 3) (2 y - 3)$ . Variantele a și b ilustrează greșeala clasică: oprirea după prima soluție a ecuației de gradul al doilea.
În rețeta determinării parametrului, folosirea unor valori particulare pentru $x$ , $y$ , $z$ :
- a) dă o condiție suficientă
- b) încheie rezolvarea
- c) nu aduce nicio informație utilă
- d) dă o condiție necesară, care trebuie apoi verificată în general
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) dă o condiție necesară, care trebuie apoi verificată în general

Orice valoare bună a parametrului trebuie să verifice egalitatea și pentru valorile alese, deci lista de candidați obținută este completă — dar o lege se poate purta bine pe numerele alese și prost în rest. De aceea urmează pasul general, cu $x$ , $y$ , $z$ oarecare. Atenție și la alegere: pentru familia $x y + a (x + y) + b$ , orice triplet cu $x = z$ dă $0 = 0$ pentru orice parametru.

Întrebări conexe

Care sunt cele două jumătăți ale rezolvării unei probleme cu parametru?

Prima: alegi valori particulare și scoți o condiție necesară. A doua: verifici proprietatea în general, cu $x$ , $y$ și $z$ oarecare. Fără a doua parte rezolvarea rămâne incompletă, iar baremul taie punctele.

Câte valori ale parametrului pot rezolva problema?

Depinde de gradul ecuației la care ajungi. La familia $x y + a (x + y) + b$ , cu $a$ dat, condiția este de gradul întâi în $b$ și dă o singură valoare; la $a x y + b (x + y) + c$ ecuația iese de gradul al doilea în $b$ , deci pot apărea două.

De ce valorile particulare se aleg cu x diferit de z?

Pentru că factorul $z - x$ ar face diferența nulă oricum, indiferent de parametru. Alegând $x = z$ nu obții nicio informație, deci condiția necesară ar rămâne nedescoperită. Identitatea aceasta explică alegerea.

Ce simetric are legea cu parametru adusă la forma factorizată?

Pentru $x * y = (x + a) (y + a) - a$ , cu $e = 1 - a$ , simetricul este $x^{'} = \frac{1}{x + a} - a$ . Prin urmare numărul $- a$ nu are simetric, fiindcă numitorul s-ar anula acolo. Intervalul de la $- a$ în sus este parte stabilă.

Ce condiție de asociativitate apare când produsul xy are coeficient?

Pentru $x * y = a x y + b (x + y) + c$ , cu $a$ nenul, condiția devine $a c + b = b^{2}$ . Fiind o ecuație de gradul al doilea în $b$ , pot ieși două valori bune. Elementul neutru este atunci $e = \frac{1 - b}{a}$ .

Este comutativă legea xy plus a ori suma lui x cu y, plus b?

Da, pentru orice valori ale parametrilor. Expresia rămâne aceeași dacă schimbi cele două litere între ele, fiindcă atât produsul, cât și suma sunt comutative. Prin urmare comutativitatea nu impune nicio condiție.

Oamenii mai întreabă și: legi de compoziție cu parametri · determinarea parametrului · când este asociativă legea cu parametru · familie de legi de compoziție · condiție necesară și verificare