Ce legi de compoziție există pe matrice?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Legi pe matrice și funcții

Adunarea și înmulțirea sunt amândouă legi pe mulțimea matricelor pătratice de același ordin, fiindcă rezultatul rămâne o matrice de aceeași formă. Deosebirea de reținut: adunarea nu ține seama de ordine, înmulțirea da. Pe mulțimea funcțiilor de la o mulțime la ea însăși, legea firească este compunerea, cu convenția că se aplică întâi funcția din dreapta.

Adunarea și înmulțirea matricelor sunt legi de compoziție pe $M_{2} (R)$ , iar compunerea funcțiilor este lege de compoziție pe mulțimea $F (E)$ a funcțiilor de la $E$ la $E$ . Prima deosebire de reținut: adunarea matricelor nu ține seama de ordine, înmulțirea lor da.

Ca să arăți că o familie de matrice este parte stabilă, compui două elemente cu parametri diferiți și spui cine sunt noii parametri — nu doar că rezultatul are aceeași formă. Pentru $A (x) = (10 x 1)$ se obține $A (x) \cdot A (y) = A (x + y)$ : înmulțirea se face adunând parametrii, de unde și $(A (x))^{n} = A (n x)$ . Pentru $B (a, b) = (a - b b a)$ rezultă $B (a, b) \cdot B (c, d) = B (a c - b d, a d + b c)$ , adică regula de înmulțire a numerelor complexe.

Contraexemplele de reținut: matricele simetrice nu formează parte stabilă la înmulțire, matricele cu determinant nenul nu formează parte stabilă la adunare, iar mulțimea matricelor cu $det X = k$ este stabilă la înmulțire numai pentru $k = 0$ și $k = 1$ .

La funcții, convenția este $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ — întâi cea din dreapta. Funcțiile afine dau $f_{a, b} \circ f_{c, d} = f_{a c, a d + b}$ ; permutările, funcțiile crescătoare și funcțiile continue formează părți stabile, funcțiile injective nu sunt parte stabilă față de adunare.

De reținut

adunarea matricelor este comutativă, înmulțirea lor nu
$(f \circ g) (x) = f (g (x))$ — se aplică întâi funcția din dreapta
la parte stabilă se scriu explicit parametrii rezultatului

Greșeala tipică

Se compun două matrice cu același parametru și se conchide că familia este stabilă. Demonstrația cere parametri diferiți, altfel nu acoperi decât un caz particular.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $A (x) = (10 x 1)$ , cu $x \in R$ . Atunci $A (7) \cdot A (- 2)$ este egală cu:
- a) $A (- 14)$
- b) $A (9)$
- c) $A (- 5)$
- d) $A (5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $A (5)$

Din regula familiei, $A (x) \cdot A (y) = A (x + y)$ , deci $A (7) \cdot A (- 2) = A (7 - 2) = A (5)$ . Varianta $A (- 14)$ vine din înmulțirea parametrilor, ca și cum regula ar copia înmulțirea, nu adunarea. Varianta $A (9)$ schimbă semnul celui de-al doilea parametru, iar $A (- 5)$ inversează ordinea scăderii — dar aici ordinea nici nu contează, fiindcă adunarea numerelor nu depinde de ea.
Mulțimea matricelor $X \in M_{2} (R)$ cu $det X = k$ este parte stabilă în raport cu înmulțirea exact pentru:
- a) orice număr real $k$
- b) $k \in {0, 1}$
- c) orice $k \neq = 0$
- d) niciun $k$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $k \in {0, 1}$

Din $det (X Y) = det X \cdot det Y$ rezultă că produsul are determinantul $k^{2}$ , iar condiția $k^{2} = k$ dă $k \in {0, 1}$ . Pentru $k = 3$ , de pildă, produsul a două matrice cu determinantul $3$ are determinantul $9$ și iese din mulțime. Varianta c ar fi corectă doar dacă mulțimea ar fi descrisă prin $det X \neq = 0$ , ceea ce este altceva.
Fie $f, g : R \to R$ , $f (x) = 4 x - 1$ și $g (x) = x + 3$ . Atunci $(f \circ g) (2)$ este:
- a) $19$
- b) $10$
- c) $7$
- d) $11$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $19$

Se aplică întâi cea din dreapta: $g (2) = 5$ , apoi $f (5) = 4 \cdot 5 - 1 = 19$ . Varianta $10$ este $(g \circ f) (2)$ : $f (2) = 7$ , apoi $g (7) = 10$ — exact greșeala de ordine. Varianta $7$ este doar $f (2)$ , iar $11$ nu corespunde niciunui drum.

Întrebări conexe

De ce compunerea funcțiilor este întotdeauna asociativă?

Fiindcă amândouă părțile egalității înseamnă același lucru: aplici pe rând cele trei funcții, în aceeași ordine, asupra fiecărui argument. Parantezele spun doar în ce ordine grupezi pașii de scriere, nu schimbă drumul pe care îl face valoarea.

Ce regulă de înmulțire ascund matricele cu a, b, minus b, a?

Pe cea a numerelor complexe: produsul lor dă matricea cu parametrii $a c - b d$ și $a d + b c$ , adică exact părțile lui $(a + bi) (c + d i)$ . Familia aceasta este o copie matriceală a mulțimii $C$ .

Cât face puterea a n-a a matricei cu 1, x, 0, 1?

Iese o matrice de aceeași formă, cu $n x$ în locul lui $x$ . Motivul: la înmulțirea a două asemenea matrice parametrii se adună, deci ridicarea la putere înseamnă adunarea lui $x$ de $n$ ori.

Este mulțimea matricelor cu determinant nenul stabilă la adunare?

Nu. Suma a două matrice inversabile poate avea determinantul zero, cum se vede adunând $I_{2}$ cu $- I_{2}$ , care dă matricea nulă. Față de înmulțire, în schimb, familia rămâne stabilă.

Cât face compunerea a două funcții afine?

Tot o funcție afină: din $f (x) = a x + b$ și $g (x) = c x + d$ obții $f (g (x)) = a c x + a d + b$ . Noii parametri sunt deci $a c$ și $a d + b$ , iar scrierea lor explicită încheie demonstrația de parte stabilă.

Pentru ce valori ale lui k este stabilă mulțimea matricelor cu determinantul k?

Doar pentru $k = 0$ și $k = 1$ . Determinantul unui produs fiind produsul determinanților, condiția devine $k \cdot k = k$ , adică $k^{2} = k$ . Ecuația aceasta are exact două soluții, iar ele dau singurele familii stabile.

Oamenii mai întreabă și: legi de compoziție pe matrice · parte stabilă de matrice · compunerea funcțiilor ca lege · adunarea și înmulțirea matricelor · legi pe mulțimi de funcții