Cum aduc legea la forma factorizată?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Legi date prin formule

Pentru $x * y = x y + b x + b y + d$ încerci scrierea $(x - a) (y - a) + a$ . Desfăcând paranteza obții $x y - a x - a y + a^{2} + a$ , deci trebuie $a = - b$ și $d = a^{2} + a$ . Când condiția este îndeplinită, tot capitolul se simplifică: numărul $a$ dă partea stabilă, elementul neutru și simetricul. Când produsul $x y$ vine cu un coeficient, forma devine $λ (x - a) (y - a) + a$ .

O formulă cu două variabile definește o lege de compoziție pe mulțimea de numere $M$ numai dacă expresia are sens pentru orice pereche din $M \times M$ și rezultatul rămâne în $M$ . Rezultatul se numește compusul lui $x$ cu $y$ ; nicio proprietate nu vine „pe gratis”, toate se demonstrează.

Rețeta capitolului: legea $x * y = x y + b x + b y + d$ se scrie sub forma factorizată $x * y = (x - a) (y - a) + a$ exact atunci când $a = - b$ și $d = b^{2} - b$ , echivalent $d = a^{2} + a$ . Justificarea e un calcul de o linie: $(x - a) (y - a) + a = x y - a x - a y + a^{2} + a$ . Trucul mută originea din $0$ în $a$ , înmulțește acolo și mută originea înapoi, iar numărul $a$ este singurul secret al legii. Când termenul $x y$ vine cu un coeficient, forma devine $x * y = λ (x - a) (y - a) + a$ .

Din forma factorizată se citesc imediat: intervalele $(a, + \infty)$ și $[a, + \infty)$ sunt părți stabile, $(- \infty, a)$ nu este, iar $a$ este absorbant, adică $a * y = a$ pentru orice $y$ — de aceea apariția lui într-un produs lung înghite tot. Compunerea lui $x$ cu el însuși de $n$ ori dă $(x - a)^{n} + a$ , formulă care transformă ecuațiile capitolului în ecuații de tipul $(x - a)^{n} = k$ .

De reținut

$x * y = (x - a) (y - a) + a$ apare exact când $a = - b$ și $d = a^{2} + a$
numărul $a$ este element absorbant: $a * y = a$
compunerea de $n$ ori dă $(x - a)^{n} + a$

Greșeala tipică

Se scrie forma factorizată fără să se verifice condiția dintre coeficienți. Egalitatea trebuie confirmată prin desfacerea parantezei, altfel cele două expresii nu coincid.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ se consideră $x * y = x y + 9 x + 9 y + 72$ . Forma factorizată a legii este:
- a) $(x - 9) (y - 9) + 9$
- b) $(x + 9) (y + 9) + 9$
- c) $(x + 9) (y + 9) - 9$
- d) $(x + 9) (y + 9) - 72$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(x + 9) (y + 9) - 9$

Coeficientul lui $x$ este $b = 9$ , deci $a = - b = - 9$ , iar criteriul cere $d = b^{2} - b = 81 - 9 = 72$ — se verifică. Prin urmare $x * y = (x + 9) (y + 9) - 9$ ; control: $(x + 9) (y + 9) - 9 = x y + 9 x + 9 y + 81 - 9$ . Varianta a inversează semnul lui $a$ (greșeala clasică: $a = - b$ , nu $a = b$ ), iar b și d aleg greșit constanta care se adaugă la final, care este mereu $a$ .
Pe $R$ se consideră $x * y = (x - 14) (y - 14) + 14$ . Compunând $x$ cu el însuși de $n$ ori se obține:
- a) $(x - 14)^{n} + 14$
- b) $(x - 14)^{n} \cdot 14$
- c) $n (x - 14) + 14$
- d) $x^{n} - 1 4^{n} + 14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x - 14)^{n} + 14$

Demonstrația se face prin inducție: dacă expresia cu $n$ factori este $(x - 14)^{n} + 14$ , compunând-o încă o dată cu $x$ obținem $[(x - 14)^{n} + 14 - 14] (x - 14) + 14 = (x - 14)^{n + 1} + 14$ . Varianta c ar corespunde unei legi aditive, nu multiplicative deghizate, iar d aplică exponentul separat fiecărui termen, ceea ce nu are nicio justificare.
Pe $R$ se consideră $x * y = (x - 15) (y - 15) + 15$ . Cât este $15 * y$ , pentru orice număr real $y$ ?
- a) $y$
- b) $0$
- c) $15 y$
- d) $15$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $15$

Prima paranteză se anulează: $15 * y = 0 \cdot (y - 15) + 15 = 15$ . Numărul $a = 15$ este deci absorbant, iar apariția lui într-un produs lung face rezultatul egal cu $15$ . Varianta a confundă elementul absorbant cu elementul neutru — sunt lucruri diferite: neutrul lasă celălalt element neschimbat, absorbantul îl înghite.

Întrebări conexe

Ce condiții leagă coeficienții ca legea să aibă formă factorizată?

Două deodată: $a = - b$ și $d = b^{2} - b$ , ceea ce revine la $d = a^{2} + a$ . Verificarea se face desfăcând paranteza și comparând coeficienții termen cu termen. Dacă una dintre condiții cade, forma factorizată nu există.

Ce este elementul absorbant al unei legi de compoziție?

Elementul care înghite orice partener: $a * y = a$ pentru orice $y$ . La legea factorizată acesta este chiar numărul $a$ , fiindcă factorul $x - a$ devine zero. Într-un produs lung, apariția lui hotărăște singură rezultatul.

Ce se întâmplă cu o lege când mut originea în punctul a?

Devine o înmulțire obișnuită. Forma $(x - a) (y - a) + a$ spune exact asta: scazi $a$ din amândouă numerele, le înmulțești ca de obicei, apoi adaugi $a$ înapoi. De aceea toate proprietățile înmulțirii se transportă, translatate cu $a$ .

Ce se întâmplă dacă coeficienții lui x și ai lui y diferă?

Rețeta nu se mai aplică: nu există niciun număr $a$ pentru care formula să capete forma factorizată. La $x * y = x y + 3 x + y$ coeficienții sunt $3$ și $1$ ; pe deasupra, schimbând ordinea celor două litere obții cu totul alt rezultat.

Ce se schimbă în forma factorizată când produsul xy are un coeficient?

Apare un factor în față: forma devine $λ (x - a) (y - a) + a$ , unde $λ$ este chiar coeficientul lui $x y$ . Restul mecanismului rămâne același, doar că elementul neutru și simetricul capătă și ei acel factor.

La ce tip de ecuație se reduce o ecuație cu legea factorizată?

La una de forma $(x - a)^{n} = k$ , după ce ai scris compunerea repetată. De acolo se extrage radicalul de ordinul potrivit și se revine la $x$ . Trucul scurtează calcule care altfel ar cere desfaceri lungi de paranteze.

Oamenii mai întreabă și: forma factorizată a unei legi · legi date prin formule · element absorbant · compunerea de n ori · trucul cu mutarea originii