În $$\mathcal{P}(M)$$, ecuația $$A \triangle X = B$$:

are soluția unică $$X = A \triangle B$$

are soluția unică $$X = A \cup B$$

are întotdeauna mai multe soluții

Cum se calculează diferența simetrică?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Legi pe mulțimea părților

Aduni elementele care se află în exact una dintre cele două mulțimi. Se poate scrie în două feluri: $A △ B = (A ∖ B) \cup (B ∖ A)$ sau $A △ B = (A \cup B) ∖ (A \cap B)$ . Pentru $A = {1, 2, 3}$ și $B = {3, 4}$ obții ${1, 2, 4}$ . La mulțimi finite, numărul de elemente iese $card A + card B - 2 card (A \cap B)$ : aduni cardinalele și scazi de două ori partea comună, fiindcă ea nu intră în rezultat.

Mulțimea părților $P (M)$ are ca elemente toate submulțimile lui $M$ , inclusiv $\emptyset$ și $M$ ; dacă $M$ are $n$ elemente, atunci $card P (M) = 2^{n}$ . Atenție la tipul obiectelor: ${1} \in P (M)$ , dar $1 \in / P (M)$ .

Pe $P (M)$ sunt legi de compoziție reuniunea, intersecția și diferența simetrică, pentru că rezultatul fiecăreia rămâne o submulțime a lui $M$ . Diferența simetrică adună elementele care aparțin exact uneia dintre mulțimi și se calculează pe două căi: $A △ B = (A ∖ B) \cup (B ∖ A) = (A \cup B) ∖ (A \cap B)$ . Semnul $△$ nu are nicio legătură cu discriminantul. Pentru mulțimi finite, $card (A △ B) = card A + card B - 2 card (A \cap B)$ .

Funcția caracteristică $χ_{A}$ traduce submulțimile în șiruri de $0$ și $1$ : intersecția devine înmulțire, iar diferența simetrică devine adunare modulo $2$ , adică „sau exclusiv”. De aici, într-un rând, egalitatea $(A △ B) △ C = A △ (B △ C)$ și identitatea $A \cap (B △ C) = (A \cap B) △ (A \cap C)$ .

Din $A △ A = \emptyset$ și $A △\emptyset = A$ rezultă că ecuația $A △ X = B$ are soluția unică $X = A △ B$ , spre deosebire de ecuațiile cu reuniune, care pot avea mai multe soluții sau niciuna.

De reținut

$A △ B = (A \cup B) ∖ (A \cap B)$
$card P (M) = 2^{n}$
$A △ A = \emptyset$ și $A △\emptyset = A$

Greșeala tipică

Se confundă elementele mulțimii părților cu elementele mulțimii de plecare. Într-o mulțime de părți se află submulțimi, deci ${1}$ îi aparține, iar numărul $1$ , nu.

Exerciții din această mini-lecție

Dacă mulțimea $M$ are $6$ elemente, atunci $card P (M)$ este:
- a) $64$
- b) $36$
- c) $12$
- d) $720$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $64$

Pentru fiecare dintre cele $6$ elemente alegi independent dacă îl pui sau nu în submulțime, deci $2^{6} = 64$ . Varianta $12$ este $2 \cdot 6$ , varianta $36$ este $6^{2}$ , iar $720$ este $6!$ — niciuna nu numără submulțimi. Reține că în cele $64$ intră și $\emptyset$ , și $M$ însăși, cele două care se uită cel mai des.
Fie $M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , $A = {1, 2, 3, 4}$ și $B = {3, 4, 5}$ . Atunci $A △ B$ este:
- a) ${3, 4}$
- b) ${1, 2}$
- c) ${1, 2, 3, 4, 5}$
- d) ${1, 2, 5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) ${1, 2, 5}$

Elementele care aparțin exact uneia dintre mulțimi sunt $1$ , $2$ (doar în $A$ ) și $5$ (doar în $B$ ). Pe a doua cale: $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$ , $A \cap B = {3, 4}$ , iar diferența lor este ${1, 2, 5}$ . Varianta a dă intersecția, varianta b calculează doar $A ∖ B$ — greșeala din care vine chiar numele „simetrică” —, iar c dă reuniunea.
În $P (M)$ , ecuația $A △ X = B$ :
- a) nu are întotdeauna soluție
- b) are soluția unică $X = A △ B$
- c) are soluția unică $X = A \cup B$
- d) are întotdeauna mai multe soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) are soluția unică $X = A △ B$

Compunem ambii membri cu $A$ și folosim $A △ A = \emptyset$ și $\emptyset△ X = X$ : din $A △ (A △ X) = A △ B$ rezultă $X = A △ B$ . Nu există cazuri de discutat, soluții pierdute sau în plus. Variantele a și d descriu comportamentul reuniunii: ${1, 2} \cup X = {1}$ nu are soluție, iar ${1} \cup X = {1, 2}$ are două.

Întrebări conexe

Este diferența simetrică o operație comutativă?

Da, și se vede direct din definiție: condiția „aparține exact uneia dintre cele două mulțimi” nu ține seama de ordinea în care le scrii. Aceeași simetrie se citește și din formula cu reuniune și intersecție, amândouă comutative.

Ce operații sunt legi de compoziție pe mulțimea părților?

Reuniunea, intersecția și diferența simetrică, fiindcă rezultatul fiecăreia rămâne o submulțime a mulțimii de plecare. Sunt deci trei legi diferite pe aceeași mulțime, fiecare cu proprietățile ei.

Cât face diferența simetrică a unei mulțimi cu ea însăși?

Rezultatul este mulțimea vidă, fiindcă niciun element nu se află în exact una dintre cele două. Împreună cu egalitatea $A △\emptyset = A$ , proprietatea aceasta arată că fiecare mulțime este propriul ei simetric.

De ce simbolul diferenței simetrice nu are legătură cu discriminantul?

Fiindcă este doar același desen folosit pentru două lucruri diferite. Aici triunghiul înseamnă o operație între mulțimi, în timp ce la ecuația de gradul al doilea el denumește un număr. Contextul lămurește de fiecare dată.

Ce element este neutru pentru diferența simetrică?

Mulțimea vidă, fiindcă $A △\emptyset = A$ pentru orice $A$ . Cu ea, plus faptul că fiecare mulțime este propriul simetric, ecuația $A △ X = B$ capătă soluția $X = A △ B$ , aceeași de fiecare dată.

În ce se transformă intersecția prin funcția caracteristică?

În înmulțire: $χ_{A \cap B} = χ_{A} χ_{B}$ . Pentru diferența simetrică rezultă adunarea modulo $2$ , cunoscută și ca „sau exclusiv”. Traducerea aceasta face ca asociativitatea diferenței simetrice să iasă dintr-un singur rând de calcul.

Oamenii mai întreabă și: diferența simetrică · legi pe mulțimea părților · mulțimea părților · funcția caracteristică · ecuația cu diferență simetrică