Cât face limita din sin x supra x?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limita fundamentală sin x supra x

Când $x$ tinde la zero, raportul $\frac{sin x}{x}$ se apropie de $1$ , cu unghiul măsurat în radiani. Rezultatul vine dintr-o încadrare geometrică pe cercul trigonometric, urmată de criteriul cleștelui. Din el se obțin $\frac{tg x}{x} \to 1$ și $\frac{1 - cos x}{x ^{2}} \to \frac{1}{2}$ . Forma compusă spune că $\frac{sin u ( x )}{u ( x )} \to 1$ ori de câte ori $u$ tinde la zero fără să îl atingă.

Raportul $\frac{sin x}{x}$ dă în $0$ nedeterminarea $\frac{0}{0}$ , dar nicio tehnică algebrică nu o rezolvă: $sin x$ nu se descompune în factori. Drumul este geometric. Pe cercul trigonometric, comparând ariile triunghiului $O A M$ , ale sectorului $O A M$ și ale triunghiului $O A T$ , se obține $sin t < t < tg t$ pe $(0, \frac{π}{2})$ , de unde $cos t < \frac{sin t}{t} < 1$ . Funcția fiind pară, încadrarea ține pe ambele părți, iar criteriul cleștelui dă $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1.$ Corolarele: $x \to 0 lim \frac{tg x}{x} = 1$ și $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ .

Forma compusă: dacă $u (x) \to 0$ și $u (x) \neq = 0$ pe o vecinătate redusă, atunci $\frac{sin u ( x )}{u ( x )} \to 1$ ; substituția se justifică în scris, cu ambele condiții. Tehnica de lucru: dacă sub sinus stă $u$ , construiești tot $u$ la numitor, amplificând.

Ce nu spune limita: la $+ \infty$ raportul tinde la $0$ ; în grade valoarea este $\frac{π}{180}$ ; iar $\frac{sin x}{x ^{2}}$ nu are limită în $0$ .

De reținut

$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ , cu $x$ în radiani
$x \to 0 lim \frac{tg x}{x} = 1$ și $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$
forma compusă cere $u (x) \to 0$ și $u (x) \neq = 0$ în jurul punctului

Greșeala tipică

Se aplică formula și când sub sinus stă altceva decât la numitor, de pildă la $\frac{sin 3 x}{x}$ . Se amplifică întâi, astfel încât numitorul să repete exact argumentul sinusului.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $x \to 0 lim \frac{sin 7 x}{x}$ .
- a) $1$
- b) $7$
- c) $\frac{1}{7}$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7$

Sub sinus stă $7 x$ , deci la numitor trebuie să apară tot $7 x$ : amplificăm cu $7$ și scriem $\frac{sin 7 x}{x} = 7 \cdot \frac{sin 7 x}{7 x}$ . Cu $u (x) = 7 x$ , care tinde la $0$ și se anulează doar în $0$ , forma compusă dă $\frac{sin 7 x}{7 x} \to 1$ , deci limita este $7$ . Varianta a) aplică mecanic limita fundamentală, fără să numere factorii.
Calculați $x \to 0 lim \frac{sin 4 x}{sin 9 x}$ .
- a) $1$
- b) $\frac{9}{4}$
- c) $\frac{4}{9}$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{4}{9}$

Construim ambele rapoarte fundamentale: $\frac{sin 4 x}{sin 9 x} = \frac{4 x}{9 x} \cdot \frac{sin 4 x}{4 x} \cdot \frac{9 x}{sin 9 x}$ . Primul factor este $\frac{4}{9}$ , al doilea tinde la $1$ , al treilea este inversul unei expresii care tinde la $1 \neq = 0$ , deci tinde tot la $1$ . Limita este $\frac{4}{9}$ ; varianta b) răstoarnă raportul.
Calculați $x \to 0 lim \frac{1 - cos 3 x}{x ^{2}}$ .
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $3$
- c) $\frac{3}{2}$
- d) $\frac{9}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{9}{2}$

Scriem $\frac{1 - cos 3 x}{x ^{2}} = 9 \cdot \frac{1 - cos 3 x}{( 3 x ) ^{2}}$ și aplicăm corolarul $\frac{1 - cos u}{u ^{2}} \to \frac{1}{2}$ cu $u = 3 x$ : limita este $9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ . Varianta a) uită să transporte coeficientul, iar b) confundă $a$ cu $\frac{a ^{2}}{2}$ .

Întrebări conexe

Cât este limita din sin de 5x, supra 3x?

Construiești la numitor exact argumentul sinusului: scrii raportul ca $\frac{sin 5 x}{5 x} \cdot \frac{5}{3}$ . Prima parte tinde la $1$ , deci rezultatul este $\frac{5}{3}$ . Regula generală pentru $\frac{sin a x}{b x}$ dă $\frac{a}{b}$ .

Cât este limita din sin x supra x, la plus infinit?

Este $0$ , un rezultat cu totul diferit de cel din zero. Numărătorul rămâne închis între $- 1$ și $1$ , în timp ce numitorul crește nemărginit, deci raportul se strivește. Criteriul cleștelui încheie: $- \frac{1}{x} \leq \frac{sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$ .

De ce sin x supra x pătrat nu are limită în zero?

Pentru că raportul se scrie ca $\frac{sin x}{x} \cdot \frac{1}{x}$ : primul factor tinde la $1$ , iar al doilea are laterale de semne contrare. Rezultă $- \infty$ pe stânga și $+ \infty$ pe dreapta, deci limita lipsește.

Ce valoare are raportul dacă unghiul este măsurat în grade?

Limita devine $\frac{π}{180}$ , adică aproximativ $0, 01745$ , nu $1$ . Trecerea de la grade la radiani înmulțește argumentul cu factorul acela, iar el rămâne în rezultat. De aceea toate formulele capitolului cer radiani.

Cum se folosește criteriul cleștelui la raportul sinusului?

Din compararea a trei arii pe cercul trigonometric se obține $cos t < \frac{sin t}{t} < 1$ pentru unghiuri mici și pozitive. Marginile tind amândouă la $1$ , deci și raportul dintre ele face la fel. Funcția fiind pară, încadrarea ține și pe partea negativă.

Cât este limita din 1 minus cos x, supra x?

Este $0$ , nu $\frac{1}{2}$ . Împărțind formula cunoscută la $x$ obții $\frac{1 - cos x}{x ^{2}} \cdot x$ , adică $\frac{1}{2}$ înmulțit cu ceva care tinde la zero. Puterea de la numitor schimbă complet răspunsul, deci se citește cu atenție.

Oamenii mai întreabă și: limita sin x pe x · limita fundamentală a sinusului · sin x supra x când x tinde la zero · limita din tg x supra x · limita 1 minus cos x supra x la pătrat