Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

$$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty$$, deci limita există în $$\overline{\mathbb{R}}$$

$$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = +\infty$$

Dacă $$f$$ nu este definită în $$x_0$$, atunci $$f$$ nu are limită în $$x_0$$

Dacă un singur șir $$x_n \to x_0$$ dă $$f(x_n) \to 4$$, atunci limita este $$4$$

Ce este limita unei funcții într-un punct?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limita unei funcții într-un punct

Este valoarea de care se apropie $f (x)$ atunci când $x$ se apropie de $x_{0}$ , fără să ia chiar acea valoare. Riguros, se folosesc șiruri: limita este $ℓ$ dacă pentru orice șir $x_{n} \to x_{0}$ , cu $x_{n} \neq = x_{0}$ , șirul valorilor $f (x_{n})$ tinde la $ℓ$ . Punctul $x_{0}$ trebuie să fie punct de acumulare pentru domeniu, dar funcția nu trebuie neapărat definită acolo.

Limita descrie ce se întâmplă în jurul lui $x_{0}$ , nu în $x_{0}$ .

Definiția cu șiruri. Fie $f : D \to R$ și $x_{0} \in D^{'}$ . Spunem că $x \to x_{0} lim f (x) = ℓ$ dacă pentru orice șir $(x_{n})$ cu termeni în $D ∖ {x_{0}}$ și $x_{n} \to x_{0}$ avem $f (x_{n}) \to ℓ$ . Condiția $x_{n} \neq = x_{0}$ face parte din definiție: fără ea, șirul constant ar impune $ℓ = f (x_{0})$ .

Consecințe imediate: valoarea $f (x_{0})$ nu intervine în calcul (poate să difere de $ℓ$ sau să nu existe deloc), iar $x_{0}$ nici nu trebuie să aparțină domeniului — e de ajuns să fie punct de acumulare al lui. Limita, când există, este unică, unicitatea fiind moștenită de la șiruri.

Ca să arăți că limita nu există, dai două șiruri admisibile cu limite diferite ale valorilor: pentru $f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}$ în $0$ , șirul $\frac{1}{n}$ dă $1$ , iar $- \frac{1}{n}$ dă $- 1$ . Atenție la distincția pe care baremele o urmăresc: $x \to 0 lim \frac{1}{x ^{2}} = + \infty$ este o limită care există în $\overline{R}$ .

La funcțiile polinomiale, limita într-un punct este chiar valoarea funcției acolo.

De reținut

$x \to x_{0} lim f (x) = ℓ$ : pentru orice $x_{n} \to x_{0}$ , $x_{n} \neq = x_{0}$ , avem $f (x_{n}) \to ℓ$
$x_{0}$ trebuie să fie punct de acumulare al domeniului
Limita poate exista și acolo unde funcția nu este definită

Greșeala tipică

Se calculează limita înlocuind direct $x_{0}$ în expresie, la orice funcție. Procedeul merge la funcțiile continue, dar dă rezultate greșite tocmai acolo unde limita este interesantă: în punctele în care funcția nu este definită.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $x \to - 2 lim \frac{x ^{2} + 5 x + 6}{x + 2}$ .
- a) $- 1$
- b) $1$
- c) $0$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1$

Domeniul este $R ∖ {- 2}$ , iar $- 2$ este punct de acumulare al lui. Cum $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ și șirurile din definiție au $x_{n} \neq = - 2$ , simplificarea prin $x_{n} + 2$ este legitimă: raportul devine $x_{n} + 3 \to 1$ . Varianta d) ar rezulta din înlocuirea lui $x$ cu $2$ în loc de $- 2$ .
Fie $g : R \to R$ , $g (x) = 2 x - 1$ pentru $x \neq = 3$ și $g (3) = 10$ . Atunci $x \to 3 lim g (x)$ este:
- a) $10$
- b) nu există
- c) $3$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $5$

Șirurile din definiție evită punctul $3$ , deci pentru toate se folosește prima formulă: $g (x_{n}) = 2 x_{n} - 1 \to 5$ . Limita este $5$ , deși $g (3) = 10$ — limita citește vecinătatea, valoarea citește punctul.
Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
- a) $x \to 0 lim \frac{1}{x ^{2}} = + \infty$ , deci limita există în $\overline{R}$
- b) $x \to 0 lim \frac{1}{x} = + \infty$
- c) Dacă $f$ nu este definită în $x_{0}$ , atunci $f$ nu are limită în $x_{0}$
- d) Dacă un singur șir $x_{n} \to x_{0}$ dă $f (x_{n}) \to 4$ , atunci limita este $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x \to 0 lim \frac{1}{x ^{2}} = + \infty$ , deci limita există în $\overline{R}$

La a), numitorul $x_{n}^{2}$ tinde la zero rămânând pozitiv din ambele părți, deci raportul tinde la $+ \infty$ : limita există în dreapta reală încheiată. La b), apropierile prin valori negative dau $- \infty$ , deci limita nu există. c) e falsă ( $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ are limita $4$ în $2$ ), iar d) ignoră cuvântul „orice” din definiție.

Întrebări conexe

Ce spune criteriul cu șiruri pentru limita unei funcții?

Că limita este $ℓ$ exact atunci când orice șir din domeniu care tinde la $x_{0}$ , evitând acest punct, duce valorile funcției spre $ℓ$ . Criteriul transformă o problemă despre funcții într-una despre șiruri, deja cunoscută.

Cum citesc limita unei funcții de pe grafic?

Urmărești spre ce înălțime se îndreaptă curba când te apropii pe orizontală de punctul dat, din ambele părți. Dacă cele două apropieri duc la aceeași înălțime, aceea este limita, chiar dacă în punct graficul are o gaură.

Ce notație se folosește pentru limita unei funcții?

Se scrie cu simbolul limitei, sub care se pune tendința variabilei către $x_{0}$ , urmat de expresia funcției. Egalitatea cu $ℓ$ afirmă existența limitei, deci notația nu se folosește înainte de a ști că limita există.

Poate exista limita într-un punct în care funcția nu e definită?

Da, și tocmai acolo limita este interesantă. La $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ punctul $1$ lipsește din domeniu, dar valorile se apropie oricât de mult de $2$ , fiindcă fracția se simplifică în $x + 1$ pentru orice $x$ diferit de $1$ .

Ce înseamnă că limita unei funcții este un număr finit?

Că valorile se strâng în jurul acelui număr, oricât de mult ne apropiem de punct. Situația se deosebește de cea în care valorile cresc nemărginit, unde limita există, dar este infinită.

Cum aflu limita unei funcții raționale acolo unde numitorul se anulează?

Descompui numărătorul și numitorul și simplifici factorul comun, dacă există. Când el nu există, valorile cresc nemărginit în modul, deci limita este infinită sau nu există, după semnele de o parte și de alta.

Oamenii mai întreabă și: limita unei funcții într-un punct · criteriul cu șiruri pentru limite de funcții · ce înseamnă limita unei funcții · limita lui f de x când x tinde la x zero