Afirmația $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\ell$$, cu $$\ell\in\mathbb{R}$$, înseamnă că:

pentru orice $$\varepsilon>0$$ există un rang $$N$$ astfel încât $$\lvert a_n-\ell\rvert<\varepsilon$$ pentru orice $$n\ge N$$

există $$\varepsilon>0$$ și un rang $$N$$ astfel încât $$\lvert a_n-\ell\rvert<\varepsilon$$ pentru orice $$n\ge N$$

toți termenii șirului aparțin intervalului $$(\ell-\varepsilon,\ \ell+\varepsilon)$$

există o infinitate de ranguri $$n$$ cu $$\lvert a_n-\ell\rvert<\varepsilon$$

Ce înseamnă limita unui șir?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limita unui șir: definiția cu vecinătăți

Un număr $ℓ$ este limita șirului dacă, oricât de îngustă ar fi o vecinătate aleasă în jurul lui, toți termenii de la un rang încolo cad înăuntru. Cu inegalități: pentru orice $ε > 0$ există un rang $N$ astfel încât $∣ a_{n} - ℓ ∣ < ε$ oricare ar fi $n > N$ . În afara vecinătății pot rămâne cel mult primii termeni, adică un număr finit dintre ei.

Formularea „șirul se apropie de $ℓ$ ” nu este o definiție: șirul $1 + \frac{1}{n}$ se apropie de $0$ (distanța scade), dar limita lui este $1$ . Definiția bună cere două lucruri deodată — oricât de strâmtă ar fi zona din jurul limitei, șirul intră în ea și nu mai iese.

Definiție. $ℓ \in \overline{R}$ este limita șirului $(a_{n})$ dacă pentru orice vecinătate $V$ a lui $ℓ$ există un rang $N$ cu $a_{n} \in V$ pentru orice $n \geq N$ ; se scrie $n \to \infty lim a_{n} = ℓ$ . Formularea echivalentă: în afara oricărei vecinătăți a lui $ℓ$ rămân cel mult un număr finit de termeni.

Pentru $ℓ$ finit, vecinătățile canonice dau forma de lucru: pentru orice $ε > 0$ există $N (ε)$ cu $∣ a_{n} - ℓ ∣ < ε$ pentru orice $n \geq N (ε)$ . Rețeta este mereu aceeași: calculezi distanța $∣ a_{n} - ℓ ∣$ , o simplifici și rezolvi inecuația în raport cu $n$ . Rangul **depinde de $ε$ ** și nu este unic — orice rang mai mare funcționează. Pentru $ℓ = + \infty$ : pentru orice prag $M$ există $N (M)$ cu $a_{n} > M$ de la rangul $N (M)$ încolo.

⚠️ Limita infinită EXISTĂ în $\overline{R}$ . „Șirul nu are limită” se spune numai când niciun element din $\overline{R}$ nu verifică definiția — cazul-etalon fiind $((- 1)^{n})$ .

De reținut

$lim a_{n} = ℓ ⟺ \forall ε > 0 \exists N$ cu $∣ a_{n} - ℓ ∣ < ε$ pentru $n > N$
Rangul $N$ depinde de $ε$ ; cu cât $ε$ e mai mic, cu atât $N$ e mai mare
În afara vecinătății rămân doar un număr FINIT de termeni

Greșeala tipică

Se spune că un șir are limita $ℓ$ fiindcă termenii lui se apropie de acea valoare. Apropierea singură nu ajunge: termenii lui $\frac{1}{n}$ se apropie și de $- 1$ , fără ca acesta să fie limita lor.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru șirul $a_{n} = \frac{4 n + 1}{n + 2}$ , cel mai mic rang $N$ pentru care $∣ a_{n} - 4 ∣ < 0, 01$ este:
- a) $N = 698$
- b) $N = 699$
- c) $N = 700$
- d) $N = 702$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $N = 699$

Rescriem $a_{n} = \frac{4 ( n + 2 ) - 7}{n + 2} = 4 - \frac{7}{n + 2}$ , deci $∣ a_{n} - 4 ∣ = \frac{7}{n + 2}$ . Inecuația $\frac{7}{n + 2} < 0, 01$ înseamnă $n + 2 > 700$ , adică $n > 698$ . Cel mai mic rang natural este $699$ : pentru $n = 698$ distanța este exact $0, 01$ , deci inegalitatea strictă încă nu are loc.
Afirmația $n \to \infty lim a_{n} = ℓ$ , cu $ℓ \in R$ , înseamnă că:
- a) pentru orice $ε > 0$ există un rang $N$ astfel încât $∣ a_{n} - ℓ ∣ < ε$ pentru orice $n \geq N$
- b) există $ε > 0$ și un rang $N$ astfel încât $∣ a_{n} - ℓ ∣ < ε$ pentru orice $n \geq N$
- c) toți termenii șirului aparțin intervalului $(ℓ - ε, ℓ + ε)$
- d) există o infinitate de ranguri $n$ cu $∣ a_{n} - ℓ ∣ < ε$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) pentru orice $ε > 0$ există un rang $N$ astfel încât $∣ a_{n} - ℓ ∣ < ε$ pentru orice $n \geq N$

Ordinea cuantificatorilor este totul. Varianta b) fixează un singur $ε$ și e adevărată la orice șir mărginit; c) cere apartenența tuturor termenilor, pe când definiția vorbește doar despre cei de la rangul $N$ încolo; d) e prea slabă — o infinitate de termeni apropiați nu împiedică alți termeni să sară în altă parte, cum se vede la șirul care alternează $0$ și $1$ .
Câți termeni ai șirului $a_{n} = \frac{1}{n}$ se află în afara vecinătății $(- 0, 05; 0, 05)$ a lui $0$ ?
- a) niciunul
- b) o infinitate
- c) $19$
- d) $20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $20$

Termenul este în afara vecinătății exact când $\frac{1}{n} \geq 0, 05$ , adică $n \leq 20$ : sunt termenii $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{20}$ , deci $20$ la număr. Faptul că sunt finit de mulți confirmă, prin formularea echivalentă a definiției, că limita este $0$ . Atenție, $a_{20} = 0, 05$ nu aparține intervalului deschis, deci se numără și el.

Întrebări conexe

Ce se notează cu epsilon în definiția limitei?

Raza vecinătății alese în jurul limitei, adică toleranța admisă. Ea se ia oricât de mică, iar rangul de la care termenii intră în vecinătate depinde de ea: cu cât toleranța scade, cu atât rangul crește.

Cum scriu definiția limitei cu inegalități?

Condiția $∣ a_{n} - ℓ ∣ < ε$ ia locul apartenenței la vecinătate, iar ea se desface în încadrarea $ℓ - ε < a_{n} < ℓ + ε$ . Cele două scrieri spun același lucru, dar a doua este mai comodă atunci când trebuie găsit efectiv rangul.

Cum se citește notația cu lim de sub care se scrie n?

Se citește „limita șirului atunci când rangul tinde la infinit”. Se mai folosește și săgeata, scriind $a_{n} \to ℓ$ , cu același înțeles; ambele notații presupun că limita a fost deja dovedită, nu doar bănuită.

Cum arăt cu definiția că 1 supra n tinde la zero?

Condiția se scrie $\frac{1}{n} < ε$ , adică $n > \frac{1}{ε}$ . Alegi drept rang partea întreagă a acestei valori, iar de acolo încolo inegalitatea este îndeplinită. Cum toleranța a fost luată oarecare, demonstrația acoperă toate cazurile.

Ce limită are un șir constant?

Chiar valoarea repetată de toți termenii lui. Diferența dintre termen și acea valoare este zero, deci este mai mică decât orice toleranță, iar rangul poate fi luat chiar primul.

De ce se spune „pentru orice epsilon” și nu „pentru un epsilon”?

Fiindcă o singură toleranță nu spune nimic: orice șir mărginit intră într-o vecinătate destul de largă. Apropierea reală cere ca proprietatea să se păstreze oricât de mult s-ar strânge vecinătatea.

Oamenii mai întreabă și: definiția limitei unui șir · limita unui șir cu vecinătăți · epsilon și rangul N la limite · ce înseamnă că un șir tinde la un număr