La un exercițiu de tipul $$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\dfrac kn\right)$$, ce propoziție trebuie scrisă obligatoriu în rezolvare?

funcția $$f$$ este continuă pe $$[0,1]$$, deci integrabilă

funcția $$f$$ este derivabilă pe $$[0,1]$$

funcția $$f$$ admite primitive pe $$\mathbb{R}$$

Cum calculez o limită cu sume Riemann?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Limite de șiruri cu sume Riemann

Scoți factorul $\frac{1}{n}$ în față, citești funcția din raportul $\frac{k}{n}$ , scrii propoziția că funcția este continuă, deci integrabilă, apoi calculezi integrala. Limita sumei $\frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n})$ este $\int_{0}^{1} f (x) d x$ . Pe un alt interval, factorul din față devine lungimea unei bucăți, iar argumentul pornește din capătul din stânga.

Un șir de forma $\frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n})$ , cu $f$ continuă pe $[0, 1]$ , este suma Riemann a lui $f$ pe diviziunea echidistantă a intervalului $[0, 1]$ , cu punctele intermediare $ξ_{k} = \frac{k}{n}$ ; limita lui este $\int_{0}^{1} f (x) d x$ . Cei patru pași ai sumei Riemann sunt: scoaterea factorului $\frac{1}{n}$ , identificarea funcției $f$ din raportul $\frac{k}{n}$ , recunoașterea diviziunii împreună cu invocarea integrabilității funcției continue, apoi calculul integralei. Al treilea pas nu este o formalitate: propoziția „funcția este continuă pe $[0, 1]$ , deci integrabilă” este punctată separat în baremele de Bacalaureat M1, iar fără ea rezolvarea rămâne incompletă. Alegerea punctelor intermediare — capătul din stânga sau cel din dreapta al fiecărui subinterval — nu schimbă limita, tocmai pentru că definiția integrabilității cere independența de această alegere. Pe un interval $[a, b]$ oarecare, factorul din față devine $\frac{b - a}{n}$ , adică lungimea unui subinterval, iar argumentul funcției pornește din $a$ : $a + k \cdot \frac{b - a}{n}$ . Produsele și radicalii de ordinul $n$ se aduc la această formă prin logaritmare. Greșelile tipice sunt pierderea factorului $\frac{1}{n}$ și confundarea lui $\frac{k}{n}$ cu $\frac{k}{n ^{2}}$ , care duce la o limită complet diferită.

De reținut

$n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} f (x) d x$
pe $[a, b]$ factorul devine $\frac{b - a}{n}$
propoziția despre continuitate se punctează

Greșeala tipică

Se aplică regula sumei de la limite de șiruri. Numărul termenilor crește odată cu indicele, deci limita nu se poate împărți pe termeni; suma întreagă se recunoaște ca sumă Riemann.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n (\frac{k}{n})^{4}$ .
- a) $\frac{1}{4}$
- b) $\frac{1}{5}$
- c) $\frac{1}{6}$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1}{5}$

Suma este suma Riemann a funcției $f (x) = x^{4}$ , continuă deci integrabilă pe $[0, 1]$ , cu diviziunea echidistantă și $ξ_{k} = \frac{k}{n}$ . Limita este $\int_{0}^{1} x^{4} d x = \frac{x ^{5}}{5}_{0}^{1} = \frac{1}{5}$ . Varianta $\frac{1}{4}$ vine din integrarea lui $x^{3}$ , iar $0$ apare dacă se crede că fiecare termen tinde la zero — trecerea la limită termen cu termen nu este permisă aici.
La un exercițiu de tipul $n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n})$ , ce propoziție trebuie scrisă obligatoriu în rezolvare?
- a) șirul sumelor este monoton
- b) funcția $f$ este derivabilă pe $[0, 1]$
- c) funcția $f$ este continuă pe $[0, 1]$ , deci integrabilă
- d) funcția $f$ admite primitive pe $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) funcția $f$ este continuă pe $[0, 1]$ , deci integrabilă

Trecerea de la sumă la integrală se sprijină pe integrabilitatea funcției, iar la clasa a XII-a ea se obține din continuitatea pe intervalul închis. Fără această propoziție, subpunctul se punctează parțial. Derivabilitatea și existența primitivelor sunt adevărate aici, dar nu sunt ipoteza folosită, iar monotonia sumelor nu intervine deloc în raționament.
Calculați $n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{2}{n} (1 + \frac{2 k}{n})^{2}$ .
- a) $\frac{13}{3}$
- b) $9$
- c) $\frac{8}{3}$
- d) $\frac{26}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{26}{3}$

Factorul $\frac{2}{n}$ este lungimea unui subinterval al lui $[1, 3]$ , iar $1 + \frac{2 k}{n}$ sunt punctele diviziunii echidistante. Funcția $f (x) = x^{2}$ fiind continuă pe $[1, 3]$ , deci integrabilă, limita este $\int_{1}^{3} x^{2} d x = \frac{27 - 1}{3} = \frac{26}{3}$ . Varianta $\frac{13}{3}$ apare dacă se uită factorul $2$ din față, iar $\frac{8}{3}$ dacă se integrează pe $[0, 2]$ .

Întrebări conexe

Cât este limita sumei de la 1 supra n plus 1, până la 1 supra 2n?

Scoți $\frac{1}{n}$ și rămâi cu termenul general $\frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$ , deci funcția este $\frac{1}{1 + x}$ . Limita este $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x} = ln 2$ , după ce scrii că funcția este continuă, deci integrabilă pe interval.

Ce se schimbă în formulă pe un interval oarecare de la a la b?

Factorul din față devine $\frac{b - a}{n}$ , adică lungimea unei bucăți, iar argumentul funcției pornește din capătul din stânga, sub forma $a + k \cdot \frac{b - a}{n}$ . Limita este atunci integrala pe acel interval, nu pe cel dintre zero și unu.

Ce greșeală produce confuzia dintre k supra n și k supra n pătrat?

Schimbă cu totul rezultatul. Primul raport dă punctele diviziunii, deci o integrală; al doilea face ca fiecare termen să tindă la zero, iar suma se comportă altfel. Se verifică deci cu grijă la ce putere apare litera $n$ la numitor.

De ce se scoate factorul 1 supra n în față?

Pentru că el este lungimea fiecărei bucăți, iar fără el suma nu mai este o sumă Riemann. Odată scos, ce rămâne trebuie să depindă de indice numai prin raportul $\frac{k}{n}$ ; abia atunci se poate citi funcția din sumă.

Ce funcție se citește din raportul k supra n?

Cea obținută înlocuind peste tot raportul cu litera variabilei. Dacă termenul general se scrie ca $\frac{1}{n}$ înmulțit cu o expresie în acel raport, funcția căutată este chiar acea expresie. Când termenul nu se poate aduce la forma aceasta, suma nu este sumă Riemann.

Oamenii mai întreabă și: limite de șiruri cu sume Riemann · cum recunosc o sumă Riemann · limita sumei 1 supra n plus k · sumă Riemann într-o limită · de la sumă la integrală