Cum rezolv nedeterminarea 1 la infinit?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limitele care duc la e. Nedeterminarea 1 la infinit

Confirmi întâi că baza tinde chiar la $1$ și exponentul la infinit. Scrii apoi baza ca $1 + u$ , calculezi numărul $c = lim g (x) (f (x) - 1)$ și răspunzi $e^{c}$ . La $(1 + \frac{2}{x})^{x}$ ai $c = 2$ , deci limita este $e^{2}$ . Un $c$ infinit pozitiv dă $+ \infty$ , unul infinit negativ dă $0$ . Rezultatul nu este mereu $e$ , ci o putere a lui.

O expresie $f (x)^{g (x)}$ este de tip $1^{\infty}$ numai dacă baza tinde chiar la $1$ și exponentul la $\pm \infty$ ; altfel se calculează direct. Nu orice $1^{\infty}$ dă $e$ — rezultatul este o putere a lui $e$ , iar exponentul se calculează.

Limita fundamentală, mutată la funcții: $x \to 0 lim (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ , cu formele $x \to \pm \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$ . Forma compusă cere $u (x) \to 0$ , $u (x) \neq = 0$ și, în plus, $u (x) > - 1$ pe o vecinătate redusă (altfel baza ar fi negativă).

A cincea limită fundamentală: $x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{r} - 1}{x} = r$ , pentru orice $r$ real; corolare: $\frac{1 + x - 1}{x} \to \frac{1}{2}$ și $\frac{3 1 + x - 1}{x} \to \frac{1}{3}$ .

Formula de lucru pentru $1^{\infty}$ : dacă $f (x) \to 1$ , $g (x) \to \pm \infty$ și există $c = lim g (x) (f (x) - 1)$ , atunci $lim f (x)^{g (x)} = e^{c}$ . Toată informația stă într-un singur număr: $c$ finit dă $e^{c}$ , $c = + \infty$ dă $+ \infty$ , $c = - \infty$ dă $0$ . De aceea $c$ se calculează primul, iar rețeta are cinci pași, toți scriși: confirmi nedeterminarea, scrii baza ca $1 + u$ , construiești exponentul $\frac{1}{u}$ , calculezi $c$ și răspunzi $e^{c}$ .

Ideea de fond este că efectul cumulat depinde de produsul dintre abaterea bazei de la $1$ și exponent: la $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ produsul e $1$ și rezultatul $e$ ; la $(1 + \frac{2}{n})^{n}$ produsul e $2$ și rezultatul $e^{2}$ ; la $(1 + \frac{1}{n ^{2}})^{n}$ produsul tinde la $0$ și rezultatul e $1$ . Trei expresii aproape identice ca formă, trei răspunsuri diferite — deosebirea nu se vede din formă, ci numai din numărul $c$ .

De reținut

$x \to 0 lim (1 + x)^{1/ x} = e$ și $x \to \pm \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$
$f^{g} \to e^{c}$ , unde $c = lim g (f - 1)$
$x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{r} - 1}{x} = r$

Greșeala tipică

Se răspunde $e$ la orice nedeterminare de tip unu la infinit. Rezultatul este $e^{c}$ , iar exponentul $c$ se calculează; abia pentru $c = 1$ răspunsul chiar este $e$ .

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $x \to 0 lim (1 + 5 x)^{\frac{1}{x}}$ .
- a) $e$
- b) $5 e$
- c) $e^{5}$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $e^{5}$

Baza tinde la $1$ , exponentul la $\pm \infty$ : caz $1^{\infty}$ . Scriem $(1 + 5 x)^{\frac{1}{x}} = [(1 + 5 x)^{\frac{1}{5 x}}]^{5}$ ; paranteza tinde la $e$ (forma compusă cu $u (x) = 5 x$ ), exponentul este constant $5$ , deci limita este $e^{5} \approx 148, 41$ . Cu rețeta: $c = x \to 0 lim \frac{1}{x} \cdot 5 x = 5$ . Varianta d) ar rezulta din a citi $1^{\infty}$ ca $1$ .
Calculați $x \to + \infty lim (1 + \frac{3}{x})^{2 x}$ .
- a) $e^{6}$
- b) $e^{3}$
- c) $e^{2}$
- d) $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $e^{6}$

Caz $1^{\infty}$ . Numărul-cheie este $c = x \to + \infty lim 2 x \cdot \frac{3}{x} = 6$ , deci limita este $e^{6}$ . Efectul cumulat depinde de produsul dintre abaterea bazei de la $1$ și exponent, nu de fiecare factor separat — de aceea $a$ și $b$ se înmulțesc.
Calculați $x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{7} - 1}{x}$ .
- a) $1$
- b) $7$
- c) $0$
- d) $e^{7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7$

Este a cincea limită fundamentală, cu $r = 7$ : valoarea este $r = 7$ . Pentru exponent natural se vede și direct, cu binomul lui Newton: $(1 + x)^{7} - 1 = 7 x + C_{7}^{2} x^{2} + \dots$ , iar după împărțirea cu $x$ toți termenii în afară de $7$ mai conțin un factor $x$ și se sting.

Întrebări conexe

Cum calculez numărul c la o nedeterminare de tip unu la infinit?

Înmulțești exponentul cu abaterea bazei de la $1$ și treci la limită: $c = lim g (x) (f (x) - 1)$ . Toată informația stă în acest număr, așa că el se calculează primul. Răspunsul final se scrie apoi direct ca $e^{c}$ .

Cât este limita din 1 plus 2 supra x, totul la puterea x?

Abaterea bazei este $\frac{2}{x}$ , iar exponentul este $x$ , deci produsul lor face $2$ pentru orice $x$ . Prin urmare $c = 2$ și limita valorează $e^{2}$ , adică aproximativ $7, 389$ . Cu $\frac{3}{x}$ în loc de $\frac{2}{x}$ ai obține $e^{3}$ .

De ce 1 plus 1 supra n pătrat, la puterea n, dă 1?

Fiindcă produsul dintre exponent și abatere este $\frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n}$ , care tinde la zero. Cum $c = 0$ , rezultatul este $e^{0} = 1$ . Exemplul arată că forma expresiei nu spune nimic: hotărăște doar valoarea lui $c$ .

De unde vine numărul e în problemele de dobândă?

Dintr-o dobândă împărțită în tot mai multe perioade: o sumă crescută cu $\frac{1}{n}$ de $n$ ori pe an se înmulțește cu $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ . Când $n$ crește nemărginit, expresia se apropie de $e$ , adică de capitalizarea continuă.

Ce condiție în plus cere forma compusă a limitei care duce la e?

Pe lângă $u (x) \to 0$ și $u (x) \neq = 0$ , se cere ca $u (x) > - 1$ pe o vecinătate din care ai scos punctul. Altfel baza $1 + u$ ar deveni negativă, iar ridicarea la putere nu ar mai avea sens. Condiția se scrie explicit în rezolvare.

Ce rezultat obțin dacă exponentul c este minus infinit?

Limita este $0$ , fiindcă $e^{c}$ se apropie de zero când $c$ coboară nemărginit. Simetric, un $c$ care urcă la $+ \infty$ dă limita $+ \infty$ . Cele trei situații — $c$ finit, $c$ infinit pozitiv, $c$ infinit negativ — acoperă toată discuția.

Oamenii mai întreabă și: nedeterminarea unu la infinit · limita care duce la e · e la infinit · limita din 1 plus 1 supra x la puterea x · a cincea limită fundamentală