Cât este limita din ln de 1 plus x, supra x?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limitele fundamentale cu exponențială și logaritm

Este $1$ , atunci când $x$ tinde la zero. Rezultatul se obține scriind raportul ca logaritm dintr-o putere și folosind faptul că $(1 + x)^{1/ x}$ se apropie de numărul $e$ . Ruda lui apropiată este $\frac{a ^{x} - 1}{x} \to ln a$ — atenție, $ln a$ , nu $1$ . Amândouă spun că lângă zero exponențiala și logaritmul se poartă ca funcții de gradul întâi.

Rapoartele $\frac{a ^{x} - 1}{x}$ și $\frac{ln ( 1 + x )}{x}$ dau în $0$ nedeterminarea $\frac{0}{0}$ , iar nicio prelucrare algebrică nu ajunge: rezultatul nu e un număr algebric, ci vine de la numărul $e$ . Puntea este definiția limitei cu șiruri.

Se demonstrează întâi limita cu logaritm: din $\frac{ln ( 1 + x _{n} )}{x _{n}} = ln [(1 + x_{n})^{\frac{1}{x _{n}}}]$ și $(1 + x_{n})^{\frac{1}{x _{n}}} \to e$ rezultă $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1.$ Apoi, cu substituția $t = a^{x} - 1$ (justificată: $t \to 0$ , iar $t \neq = 0$ pentru $x \neq = 0$ , exponențiala fiind injectivă), se obține $x \to 0 lim \frac{a ^{x} - 1}{x} = ln a, a > 0.$ ⚠️ Valoarea este $ln a$ , nu $1$ ; ele coincid doar pentru $a = e$ . Corolare: $x \to 0 lim \frac{lo g _{a} ( 1 + x )}{x} = \frac{1}{ln a}$ și rapoartele răsturnate.

Toate spun, de fapt, un singur lucru: lângă zero, exponențiala și logaritmul se comportă ca funcții de gradul întâi, cu coeficientul $ln a$ , respectiv $\frac{1}{ln a}$ . Pentru baza $e$ coeficientul devine $1$ și dispare din formule. Valori de control: $ln 2 \approx 0, 693$ , $ln 10 \approx 2, 303$ .

Formele compuse cer, ca la sinus, ca $u (x) \to 0$ și $u (x) \neq = 0$ pe o vecinătate redusă, iar substituția se justifică în scris. Tehnica: dacă la exponent sau în logaritm stă $u$ , la numitor se construiește tot $u$ , prin amplificare. Atenție: $ln x$ nu este $ln (1 + x)$ .

De reținut

$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{a ^{x} - 1}{x} = ln a$ , nu $1$
$x \to 0 lim \frac{lo g _{a} ( 1 + x )}{x} = \frac{1}{ln a}$

Greșeala tipică

Se răspunde $1$ la limita raportului $\frac{a ^{x} - 1}{x}$ , prin analogie cu cea de la logaritm. Valoarea corectă este $ln a$ ; ele coincid numai pentru baza $e$ .

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $x \to 0 lim \frac{5 ^{x} - 1}{x}$ .
- a) $ln 5$
- b) $1$
- c) $5$
- d) $\frac{1}{ln 5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $ln 5$

Este chiar limita fundamentală cu exponențială, pentru $a = 5$ : valoarea este $ln 5 \approx 1, 609$ . Varianta b) este greșeala clasică a lecției — răspunsul $1$ e corect numai pentru baza $e$ ; varianta d) este limita corolarului cu $lo g_{a}$ .
Calculați $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + 4 x )}{6 x}$ .
- a) $1$
- b) $\frac{3}{2}$
- c) $4$
- d) $\frac{2}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{2}{3}$

În logaritm stă $4 x$ , la numitor avem $6 x$ ; scriem $6 x = \frac{6}{4} \cdot 4 x$ , deci expresia devine $\frac{4}{6} \cdot \frac{ln ( 1 + 4 x )}{4 x} \to \frac{4}{6} \cdot 1 = \frac{2}{3}$ . Varianta b) răstoarnă raportul coeficienților.
Calculați $x \to 0 lim \frac{e ^{5 x} - 1}{x}$ .
- a) $1$
- b) $ln 5$
- c) $5$
- d) $e^{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $5$

Amplificăm cu $5$ : $\frac{e ^{5 x} - 1}{x} = 5 \cdot \frac{e ^{5 x} - 1}{5 x}$ . Cu $u (x) = 5 x$ , care tinde la $0$ și se anulează doar în $0$ , forma compusă dă $\frac{e ^{u} - 1}{u} \to ln e = 1$ , deci limita este $5$ . Varianta a) uită coeficientul de la exponent.

Întrebări conexe

Cum recunosc într-o limită că trebuie folosită o formulă fundamentală?

Când raportul duce la nedeterminarea zero supra zero, iar la numărător apare o exponențială sau un logaritm din care se scade valoarea lui în punctul respectiv. Notezi atunci cu o literă nouă expresia care tinde la zero și aduci limita la forma pe care o știi.

Cât este limita din x supra ln de 1 plus x?

Este tot $1$ , fiindcă raportul este inversul unei expresii care tinde la $1$ , valoare nenulă. Regula funcționează la toate cele cinci limite fundamentale: răsturnând raportul, răstorni și rezultatul, atât timp cât el nu este zero.

Cât este limita din logaritm în baza a de 1 plus x, supra x?

Este $\frac{1}{ln a}$ . Se obține trecând la logaritm natural cu formula de schimbare a bazei: $lo g_{a} (1 + x) = \frac{ln ( 1 + x )}{ln a}$ , iar raportul cunoscut tinde la $1$ . Pentru $a = e$ rezultatul se întoarce la $1$ .

De ce ln x nu se confundă cu ln de 1 plus x?

Pentru că formula fundamentală cere ca sub logaritm să stea $1$ plus ceva mic. Expresia $\frac{ln x}{x - 1}$ se aduce la forma potrivită prin substituția $t = x - 1$ , abia apoi se aplică rezultatul. Fără pasul acesta calculul iese greșit.

Ce valori aproximative au ln 2 și ln 10?

Aproximativ $0, 693$ , respectiv $2, 303$ . Sunt bune ca valori de control: dacă rezolvi $x \to 0 lim \frac{2 ^{x} - 1}{x}$ și obții $1$ , comparația cu $0, 693$ arată imediat că răspunsul a fost dat fără coeficientul $ln a$ .

Cum justific substituția la o limită cu exponențială?

Scrii ce notezi și de ce ai voie: la $t = a^{x} - 1$ arăți că $t$ tinde la zero și că rămâne diferit de zero pentru $x \neq = 0$ , exponențiala fiind injectivă. Fără cele două propoziții, baremul taie punctele pasului.

Oamenii mai întreabă și: limita din ln de 1 plus x · limita fundamentală cu logaritm · limita din a la x minus 1 supra x · limite fundamentale cu exponențială · de ce apare ln a la limită