Cum calculez o limită la plus infinit?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limite la plus și la minus infinit

Verifici întâi că domeniul urcă nemărginit, apoi scoți factor termenul care crește cel mai repede. Pentru $x^{2} - 3 x$ scrii $x^{2} (1 - \frac{3}{x})$ : paranteza tinde la $1$ , deci totul urcă la $+ \infty$ . Rezultatul poate fi și un număr: $\frac{3 x - 1}{x + 2}$ se apropie de $3$ , iar graficul se lipește de dreapta $y = 3$ . Laterale nu există aici: către infinit există o singură cale de apropiere.

La $+ \infty$ și la $- \infty$ se folosește aceeași definiție cu șiruri, citită cu $x_{0} = \pm \infty$ : $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ dacă pentru orice șir $(x_{n})$ cu termeni în $D$ și $x_{n} \to + \infty$ avem $f (x_{n}) \to ℓ$ . Condiția $x_{n} \neq = x_{0}$ dispare, pentru că niciun termen real nu poate fi $+ \infty$ , iar limite laterale nu există: spre infinit se merge într-un singur fel. Cele două capete se studiază însă separat, pentru că răspunsurile pot fi diferite.

Întrebarea are sens doar dacă domeniul este nemărginit superior (pentru $+ \infty$ ), respectiv nemărginit inferior (pentru $- \infty$ ) — adică dacă $\pm \infty$ sunt puncte de acumulare ale lui $D$ ; verificarea se scrie într-o propoziție, la începutul rezolvării.

Tehnica de bază este scoaterea factorului forțat, adică a termenului dominant, exact ca la șiruri: $x^{2} - 3 x = x^{2} (1 - \frac{3}{x}) \to + \infty$ . Limita la infinit poate fi finită: $x \to + \infty lim \frac{3 x - 1}{x + 2} = 3$ , iar graficul se lipește de dreapta $y = 3$ fără să o atingă. Substituția $x = - t$ , cu $t \to + \infty$ , e utilă acolo unde semnul lui $x$ schimbă rezultatul. O funcție mărginită poate să nu aibă limită la $+ \infty$ .

De reținut

se scoate factor forțat termenul de grad maxim
limita la infinit poate fi finită: $x \to + \infty lim \frac{3 x - 1}{x + 2} = 3$
la $\pm \infty$ nu se vorbește despre limite laterale

Greșeala tipică

Se copiază la minus infinit rezultatul obținut la plus infinit. Cele două capete se calculează separat, fiindcă puterile impare schimbă semnul, iar exponențiala se comportă complet diferit.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $x \to + \infty lim \frac{4 x ^{2} - x + 1}{2 x ^{2} + 5}$ .
- a) $2$
- b) $0$
- c) $+ \infty$
- d) $\frac{1}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2$

Împărțim numărătorul și numitorul la $x^{2}$ , puterea dominantă: $\frac{4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}}}{2 + \frac{5}{x ^{2}}} \to \frac{4}{2} = 2$ . Gradele fiind egale, limita este raportul coeficienților dominanți. Verificare: la $x = 1000$ valoarea este $\approx 1, 9995$ .
Calculați $x \to - \infty lim (x^{3} - 4 x)$ .
- a) $+ \infty$
- b) $0$
- c) $- \infty$
- d) $- 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- \infty$

Scoatem factor forțat termenul dominant: $x^{3} - 4 x = x^{3} (1 - \frac{4}{x ^{2}})$ . Pentru $x \to - \infty$ , primul factor tinde la $- \infty$ , al doilea la $1$ , deci produsul tinde la $- \infty$ . Puterile impare păstrează semnul, spre deosebire de cele pare.
Calculați $x \to + \infty lim \frac{2 x + 7}{x ^{3} + 1}$ .
- a) $2$
- b) $0$
- c) $+ \infty$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $0$

Împărțim sus și jos la $x^{3}$ : $\frac{\frac{2}{x ^{2}} + \frac{7}{x ^{3}}}{1 + \frac{1}{x ^{3}}} \to \frac{0}{1} = 0$ . Numitorul crește mult mai repede decât numărătorul și „învinge”, trăgând raportul la zero.

Întrebări conexe

Cum scot factorul dominant la o limită la infinit?

Alegi termenul de grad maxim și îl dai factor comun forțat, chiar dacă rămân fracții în paranteză. La $2 x^{3} - 5 x^{2} + 1$ scoți $x^{3}$ și obții $x^{3} (2 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x ^{3}})$ ; paranteza se apropie de $2$ , iar puterea decide restul. Semnul iese din calcul, nu din intuiție.

Ce înseamnă că graficul se lipește de o dreaptă orizontală?

Că valorile funcției se apropie oricât de mult de un număr fix, fără să îl atingă neapărat. Pentru $\frac{3 x - 1}{x + 2}$ numărul este $3$ , iar dreapta $y = 3$ rămâne mereu puțin deasupra sau dedesubtul curbei. În limbajul din anul următor, dreapta se numește asimptotă orizontală.

Cât este limita din 3x minus 1, supra x plus 2, la plus infinit?

Împarți sus și jos la $x$ și obții $\frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}$ . Ambele fracții mici dispar, deci rămâne $\frac{3}{1} = 3$ . Gradele fiind egale, se putea citi direct raportul coeficienților dominanți. Verificarea numerică pentru $x = 1000$ dă tot aproape $3$ .

De ce se studiază separat capătul plus infinit și capătul minus infinit?

Fiindcă răspunsurile pot să difere. Funcția $x^{3}$ urcă la $+ \infty$ într-o parte și coboară la $- \infty$ în cealaltă, iar $e^{x}$ are limita $+ \infty$ într-un capăt și $0$ în celălalt. Un rezultat obținut într-o parte nu se copiază în cealaltă.

Ce rezultat dă la infinit un raport cu numărătorul de grad mai mare?

Un rezultat infinit, al cărui semn se discută separat. La $\frac{x ^{3} + 1}{x ^{2}}$ , împărțind la $x^{2}$ rămâne un factor $x$ , deci limita este $+ \infty$ la dreapta și $- \infty$ la stânga. Diferența gradelor și paritatea ei hotărăsc semnul.

Ce se schimbă la limita unui polinom când merg spre minus infinit?

Se schimbă doar semnul dat de puterea dominantă. Pentru un grad par rezultatul rămâne $+ \infty$ , pentru unul impar devine $- \infty$ , dacă termenul de grad maxim are coeficient pozitiv. Substituția $x = - t$ , cu $t$ urcând, transformă întrebarea într-una despre $+ \infty$ .

Oamenii mai întreabă și: limita la infinit · limita unei funcții la minus infinit · cum se calculează limita la infinit · termen dominant la limite · limita la infinit a unui raport