Fie $$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x)=x^2+1$$ pentru $$x<2$$ și $$f(x)=4x-3$$ pentru $$x \ge 2$$. Despre limita lui $$f$$ în $$2$$ se poate spune că:

există și este egală cu $$5$$

nu există, deoarece cele două ramuri sunt date de formule diferite

există și este egală cu $$4$$

nu există, deoarece $$l_s(2)=5$$ și $$l_d(2)=8$$

Cum se calculează limitele laterale?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limite laterale

La stânga te apropii de $x_{0}$ numai cu valori mai mici, la dreapta numai cu valori mai mari, iar rezultatele se notează $l_{s} (x_{0})$ , respectiv $l_{d} (x_{0})$ . Dacă funcția e dată pe bucăți, fiecare parte se calculează cu formula care lucrează acolo. Pentru $f (x) = \frac{2}{x - 3}$ ai $l_{s} (3) = - \infty$ și $l_{d} (3) = + \infty$ , fiindcă numitorul își schimbă semnul. Limita există numai când cele două ies egale.

Limitele laterale se obțin restrângând definiția cu șiruri la o singură parte a punctului: la stânga se iau doar șirurile cu $x_{n} < x_{0}$ , la dreapta doar cele cu $x_{n} > x_{0}$ . Se scriu $x \to x_{0} x < x_{0} lim f (x)$ și $x \to x_{0} x > x_{0} lim f (x)$ , iar prescurtat, acolo unde spațiul nu permite forma completă, $l_{s} (x_{0})$ și $l_{d} (x_{0})$ .

Criteriul de existență a limitei. Într-un punct de acumulare bilateral, $f$ are limită în $x_{0}$ dacă și numai dacă cele două limite laterale există și sunt egale; limita este valoarea lor comună. Dacă ele diferă, sau dacă una dintre ele nu există, funcția nu are limită. Dacă amândouă sunt $+ \infty$ (sau amândouă $- \infty$ ), limita există și este infinită.

La funcțiile definite pe ramuri, fiecare laterală se calculează cu ramura valabilă pe partea respectivă; valoarea $f (x_{0})$ nu intră în niciunul dintre cele două calcule. La limitele infinite decide semnul numitorului: pentru $a > 0$ , $\frac{a}{0 ^{+}} = + \infty$ și $\frac{a}{0 ^{-}} = - \infty$ , iar $0^{+}$ și $0^{-}$ descriu doar felul în care o expresie tinde la zero.

Când domeniul permite apropierea dintr-o singură parte — de pildă în capătul unui interval — limita funcției coincide cu unica limită laterală care are sens.

De reținut

$l_{s} (x_{0})$ se ia cu $x < x_{0}$ , iar $l_{d} (x_{0})$ cu $x > x_{0}$
limita există exact când $l_{s} (x_{0}) = l_{d} (x_{0})$
semnul numitorului decide între $+ \infty$ și $- \infty$

Greșeala tipică

Se ia valoarea din ramura cu semnul de egalitate și pentru limita din partea cealaltă. Fiecare laterală se calculează pe ramura care acoperă efectiv acea parte a punctului.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f (x) = \frac{- 3}{x + 1}$ , limitele laterale $l_{s} (- 1)$ și $l_{d} (- 1)$ sunt, în această ordine:
- a) $- \infty$ și $+ \infty$
- b) $+ \infty$ și $+ \infty$
- c) $- \infty$ și $- \infty$
- d) $+ \infty$ și $- \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $+ \infty$ și $- \infty$

Numărătorul este constant, $- 3 < 0$ ; decide semnul numitorului. Pentru $x < - 1$ avem $x + 1 < 0$ , deci numitorul tinde la $0^{-}$ și $\frac{- 3}{0 ^{-}} = + \infty$ . Pentru $x > - 1$ , numitorul tinde la $0^{+}$ și $\frac{- 3}{0 ^{+}} = - \infty$ . Cele două diferă, deci funcția nu are limită în $- 1$ .
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 1$ pentru $x < 2$ și $f (x) = 4 x - 3$ pentru $x \geq 2$ . Despre limita lui $f$ în $2$ se poate spune că:
- a) nu există, deoarece cele două ramuri sunt date de formule diferite
- b) există și este egală cu $5$
- c) există și este egală cu $4$
- d) nu există, deoarece $l_{s} (2) = 5$ și $l_{d} (2) = 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) există și este egală cu $5$

Pe stânga lucrăm cu $x^{2} + 1$ : $l_{s} (2) = 2^{2} + 1 = 5$ . Pe dreapta lucrăm cu $4 x - 3$ : $l_{d} (2) = 4 \cdot 2 - 3 = 5$ . Fiind egale, limita există și este $5$ . Varianta d) uită scăderea lui $3$ , iar a) confundă forma expresiei cu comportarea ei.
Determinați numărul real $a$ pentru care funcția $f (x) = a x + 3$ pentru $x < - 1$ și $f (x) = x^{2} - 2$ pentru $x \geq - 1$ are limită în $- 1$ .
- a) $a = - 4$
- b) $a = 2$
- c) $a = 4$
- d) $a = - 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a = 4$

Avem $l_{s} (- 1) = - a + 3$ (ramura $a x + 3$ ) și $l_{d} (- 1) = (- 1)^{2} - 2 = - 1$ (ramura $x^{2} - 2$ ). Criteriul cere $- a + 3 = - 1$ , deci $a = 4$ . Verificare: pentru $a = 4$ , $f (- 1, 001) = - 1, 004$ și $f (- 0, 999) = - 1, 002$ , ambele lângă $- 1$ .

Întrebări conexe

Ce fac dacă limitele laterale sunt diferite?

Scrii că funcția nu are limită în punctul acela. Concluzia se formulează exact așa, nu prin cuvinte ca „oscilează”. De exemplu, la $f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}$ în $0$ ambele laterale există, dar valorează $- 1$ și $1$ , deci limita lipsește.

De ce contează semnul numitorului la limitele laterale?

Fiindcă un numitor care tinde la zero dă rezultat infinit, iar direcția infinitului o hotărăște semnul lui. Pentru $a > 0$ , raportul $\frac{a}{0 ^{+}}$ urcă spre $+ \infty$ , iar $\frac{a}{0 ^{-}}$ coboară spre $- \infty$ . Fără discuția aceasta pierzi jumătate din răspuns.

Cât sunt limitele laterale ale lui 1 supra x în zero?

La stânga numitorul e negativ și apropierea de zero se face pe sub, deci raportul coboară: $l_{s} (0) = - \infty$ . La dreapta numitorul e pozitiv, deci $l_{d} (0) = + \infty$ . Valorile diferă, prin urmare $\frac{1}{x}$ nu are limită în origine, deși are amândouă lateralele.

Ce limite laterale are partea întreagă într-un număr întreg?

În $x_{0} = 2$ , valorile din stânga stau în $[1, 2)$ , unde partea întreagă e $1$ , iar cele din dreapta în $[2, 3)$ , unde ea e $2$ . Deci $l_{s} (2) = 1$ și $l_{d} (2) = 2$ : laterale finite, dar neegale, așa că limita nu există, iar saltul este $1$ .

De ce valoarea funcției în punct nu intră în limitele laterale?

Pentru că definiția lucrează cu șiruri care se apropie de $x_{0}$ fără să îl atingă: termenii sunt mereu diferiți de el. Așa se explică de ce o funcție poate avea limita $3$ într-un punct în care valoarea ei este $10$ — limita descrie vecinătatea, nu punctul.

Ce limită are o funcție în capătul închis al domeniului?

Acolo se poate merge doar dinspre interior, deci există o singură laterală, și ea este chiar limita. La $f (x) = x$ în $0$ se cere numai apropierea prin valori pozitive, iar rezultatul este $0$ ; o limită la stânga nici nu ar avea sens, domeniul lipsind acolo.

Oamenii mai întreabă și: limita la stânga și limita la dreapta · cum se calculează l s și l d · limite laterale într-un punct · limita la stânga a unei funcții · când există limita într-un punct