Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

$$\lim\limits_{x \to -\infty} 7^{x}=0$$, deși $$7^{x}>0$$ pentru orice $$x$$ real

Funcția logaritmică are limită la stânga în $$0$$

$$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x$$ nu există, fiind infinită

$$\lim\limits_{x \to +\infty} a^{x}=+\infty$$ pentru orice bază $$a>0$$, $$a \ne 1$$

Ce limite au exponențiala și logaritmul?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limitele exponențialei și ale logaritmului

Totul se decide după cum stă baza față de $1$ . Pentru $a > 1$ , funcția $a^{x}$ coboară spre $0$ la stânga și urcă la $+ \infty$ la dreapta, iar $lo g_{a} x$ pleacă de la $- \infty$ lângă zero și urcă la $+ \infty$ . Pentru o bază subunitară cele două capete își schimbă rolurile. Într-un punct al domeniului rezultatul se citește direct de pe funcție.

Pentru $f (x) = a^{x}$ , cu $a > 0$ , $a \neq = 1$ : $D = R$ , iar punctele de acumulare noi sunt $- \infty$ și $+ \infty$ . Pentru $f (x) = lo g_{a} x$ : $D = (0, + \infty)$ , iar punctele noi sunt $0$ — accesibil numai dinspre dreapta — și $+ \infty$ .

Totul se decide prin poziția bazei față de $1$ , pentru că ea dă monotonia.

Exponențiala. Pentru $a > 1$ (funcție strict crescătoare): $x \to - \infty lim a^{x} = 0$ și $x \to + \infty lim a^{x} = + \infty$ . Pentru $0 < a < 1$ cele două rezultate se schimbă între ele. Valorile rămân strict pozitive oricare ar fi $x$ : limita $0$ descrie o apropiere, nu o valoare atinsă.

Logaritmul. Pentru $a > 1$ : $x \to 0 x > 0 lim lo g_{a} x = - \infty$ și $x \to + \infty lim lo g_{a} x = + \infty$ . Pentru $0 < a < 1$ , din nou, rezultatele se schimbă între ele. În $0$ nu se cere limită la stânga, pentru că acolo funcția nu e definită.

În orice punct din domeniu limita este valoarea; în particular $x \to 0 lim a^{x} = 1$ și $x \to 1 lim lo g_{a} x = 0$ , pentru orice bază. Cele două tabele se oglindesc, funcțiile fiind inverse una alteia.

De reținut

pentru $a > 1$ : $x \to - \infty lim a^{x} = 0$ și $x \to + \infty lim a^{x} = + \infty$
pentru $a > 1$ : $lo g_{a} x \to - \infty$ lângă zero și $\to + \infty$ la infinit
bază subunitară înseamnă rezultate răsturnate

Greșeala tipică

Se cere limita logaritmului la stânga lui zero, ca la o funcție definită peste tot. Acolo funcția nu există, deci se scrie numai limita dinspre dreapta.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $x \to + \infty lim (\frac{2}{5})^{x}$ .
- a) $+ \infty$
- b) $\frac{2}{5}$
- c) $1$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $0$

Baza $\frac{2}{5}$ este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare, iar la $+ \infty$ limita este $0$ (valorile rămân pozitive și devin oricât de mici). Varianta a) ar fi corectă la $- \infty$ , iar c) confundă limita cu valoarea din $0$ .
Calculați $x \to 0 x > 0 lim lo g_{1/4} x$ .
- a) $- \infty$
- b) $0$
- c) $+ \infty$
- d) nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $+ \infty$

Baza $\frac{1}{4}$ este subunitară, deci funcția logaritmică este strict descrescătoare și, apropiindu-ne de $0$ dinspre dreapta, valorile cresc nemărginit. O verificare independentă: $lo g_{1/4} x = - lo g_{4} x$ , iar $lo g_{4} x \to - \infty$ , deci opusul tinde la $+ \infty$ . Varianta a) e răspunsul pentru bază supraunitară.
Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
- a) $x \to - \infty lim 7^{x} = 0$ , deși $7^{x} > 0$ pentru orice $x$ real
- b) Funcția logaritmică are limită la stânga în $0$
- c) $x \to + \infty lim ln x$ nu există, fiind infinită
- d) $x \to + \infty lim a^{x} = + \infty$ pentru orice bază $a > 0$ , $a \neq = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x \to - \infty lim 7^{x} = 0$ , deși $7^{x} > 0$ pentru orice $x$ real

Nu există nicio contradicție: limita descrie tendința, nu o valoare atinsă — graficul se lipește de axa $O x$ fără să o atingă. La b), la stânga lui $0$ funcția nici nu e definită. La c), o limită infinită există în $\overline{R}$ . La d), pentru bază subunitară limita la $+ \infty$ este $0$ .

Întrebări conexe

Cât este limita lui 3 la puterea x, la plus infinit?

Este $+ \infty$ . Baza fiind mai mare decât $1$ , funcția urcă tot mai repede: $3^{20}$ trece deja de trei miliarde. Creșterea nu are plafon, spre deosebire de ce se întâmplă în celălalt capăt, unde valorile se strâng lângă zero.

Cât este limita logaritmului în baza 2, la plus infinit?

Este $+ \infty$ , dar creșterea e foarte înceată: ca să ajungi la valoarea $30$ îți trebuie un argument de ordinul unui miliard. Logaritmul depășește orice prag, numai că are nevoie de argumente uriașe pentru asta.

Ce se întâmplă cu limitele logaritmului pentru baza 0,5?

Se răstoarnă amândouă: lângă zero funcția urcă la $+ \infty$ , iar spre $+ \infty$ coboară la $- \infty$ . Motivul este monotonia — cu bază subunitară logaritmul scade. Se vede și din formula de schimbare a bazei, care aduce un semn minus în față.

De ce limita lui a la puterea x, în zero, este 1?

Fiindcă $0$ aparține domeniului exponențialei, iar acolo limita coincide cu valoarea funcției. Cum $a^{0} = 1$ pentru orice bază admisă, rezultatul nu depinde de $a$ . Același raționament dă $x \to 1 lim lo g_{a} x = 0$ , oricare ar fi baza.

De ce exponențiala rămâne strict pozitivă, deși are limita zero?

Pentru că limita spune încotro se îndreaptă valorile, nu ce valori se ating. Oricât de mic ar fi exponentul, $a^{x}$ rămâne un număr pozitiv; graficul se apropie de axa orizontală fără să o atingă vreodată. De aceea ecuația $a^{x} = 0$ nu are soluții.

Ce puncte de acumulare noi are domeniul logaritmului?

Două: numărul $0$ , la care se ajunge numai dinspre dreapta, și $+ \infty$ . Spre stânga lui zero nu există niciun punct al domeniului, deci limita de acolo nici nu se pune. Pentru exponențială punctele noi sunt cele două infinituri.

Oamenii mai întreabă și: limita exponențialei · limita logaritmului la zero · limita lui ln x · limitele funcției logaritmice · exponențială și logaritm la infinit