Fie $$f:\mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}$$, $$f(x)=\dfrac{1}{x^{6}}$$. Despre limita lui $$f$$ în $$0$$ se poate spune că:

nu există, pentru că $$0$$ nu aparține domeniului

nu există, pentru că $$l_s(0)=-\infty$$ și $$l_d(0)=+\infty$$

Se consideră funcția $$f(x)=x^{-3/4}$$. Domeniul maxim și limita funcției în $$0$$ sunt:

$$(0,+\infty)$$ și limita $$+\infty$$

$$[0,+\infty)$$ și limita $$0$$

$$\mathbb{R}^{*}$$ și limita nu există

$$(0,+\infty)$$ și limita $$0$$

Ce limite au funcțiile putere și radical?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limitele funcțiilor putere și radical

Într-un punct din domeniu limita este chiar valoarea funcției. Noutatea apare la capete: $x^{n}$ urcă la $+ \infty$ la dreapta, iar la stânga urcă tot acolo pentru $n$ par și coboară la $- \infty$ pentru $n$ impar. Raportul $\frac{1}{x ^{n}}$ tinde la $0$ la ambele infinituri. Radicalul de ordin par lucrează numai pe numere nenegative, cel de ordin impar pe toată dreapta, și amândoi urcă nemărginit.

Primul pas la orice limită este domeniul maxim $D$ și mulțimea punctelor lui de acumulare $D^{'}$ . Pentru funcțiile uzuale și un punct $x_{0}$ din domeniu, $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ — se justifică prin lectură grafică sau prin criteriul cu șiruri. Toată noutatea stă în punctele de acumulare care nu sunt în domeniu: $- \infty$ , $+ \infty$ și, uneori, $0$ .

Puterea $x^{n}$ , $n \in N^{*}$ ( $D = R$ ): la $+ \infty$ limita este $+ \infty$ ; la $- \infty$ este $+ \infty$ pentru $n$ par și $- \infty$ pentru $n$ impar.

Puterea $\frac{1}{x ^{n}}$ ( $D = R^{*}$ ): la $\pm \infty$ limita este $0$ . În $0$ decide paritatea: pentru $n$ par ambele laterale sunt $+ \infty$ , deci limita există și este $+ \infty$ ; pentru $n$ impar, $l_{s} (0) = - \infty$ și $l_{d} (0) = + \infty$ , deci limita nu există.

Exponent real neîntreg: $D = [0, + \infty)$ pentru $α > 0$ și $D = (0, + \infty)$ pentru $α < 0$ ; funcția crește pentru $α > 0$ și scade pentru $α < 0$ .

Radicalii: cel de ordin par are $D = [0, + \infty)$ , cel de ordin impar are $D = R$ ; ambii tind la $+ \infty$ la $+ \infty$ , iar cel impar tinde la $- \infty$ la $- \infty$ . Atenție: $x^{1/3}$ și $3 x$ sunt funcții diferite.

De reținut

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$ , iar la $- \infty$ decide paritatea lui $n$
$x \to \pm \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$
$3 x$ și $x^{1/3}$ au domenii diferite

Greșeala tipică

Se scrie că $\frac{1}{x}$ are limita $+ \infty$ în zero, fără să se privească fiecare parte. Numitorul schimbă semnul acolo, deci cele două laterale ies $- \infty$ și $+ \infty$ , iar limita lipsește.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x ^{6}}$ . Despre limita lui $f$ în $0$ se poate spune că:
- a) nu există, pentru că $0$ nu aparține domeniului
- b) există și este $+ \infty$
- c) există și este $0$
- d) nu există, pentru că $l_{s} (0) = - \infty$ și $l_{d} (0) = + \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) există și este $+ \infty$

Exponentul $6$ este par, deci $x^{6} > 0$ pentru orice $x \neq = 0$ : numitorul tinde la $0^{+}$ din ambele părți. Prin urmare $l_{s} (0) = l_{d} (0) = + \infty$ , cele două laterale sunt egale și limita există, fiind $+ \infty$ . Apartenența la domeniu nu contează — contează doar ca $0$ să fie punct de acumulare, ceea ce este.
Calculați $x \to - \infty lim x^{7}$ .
- a) $- \infty$
- b) $+ \infty$
- c) $0$
- d) nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \infty$

Exponentul $7$ este impar, deci un produs de $7$ factori negativi rămâne negativ, iar valoarea absolută crește nemărginit: $(- 1 0^{3})^{7} = - 1 0^{21}$ . Așadar limita este $- \infty$ . Varianta b) ar fi corectă pentru un exponent par.
Se consideră funcția $f (x) = x^{- 3/4}$ . Domeniul maxim și limita funcției în $0$ sunt:
- a) $[0, + \infty)$ și limita $0$
- b) $R^{*}$ și limita nu există
- c) $(0, + \infty)$ și limita $+ \infty$
- d) $(0, + \infty)$ și limita $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(0, + \infty)$ și limita $+ \infty$

Exponentul $- \frac{3}{4}$ este neîntreg și negativ, deci domeniul maxim este $(0, + \infty)$ . Funcția este strict descrescătoare acolo, iar apropierea de $0$ se face numai dinspre dreapta: $x \to 0 x > 0 lim x^{- 3/4} = + \infty$ , iar aceasta este limita funcției în $0$ . Verificare: $(1 0^{- 8})^{- 3/4} = 1 0^{6}$ .

Întrebări conexe

Cum se compară la infinit două puteri cu exponenți diferiți?

Câștigă cea cu exponentul mai mare: raportul dintre ele tinde la infinit sau la zero, după cum exponentul de sus îl întrece sau nu pe cel de jos. De aceea, într-o sumă de puteri, comportarea la infinit o hotărăște singur termenul de grad maxim.

De ce paritatea exponentului schimbă rezultatul la minus infinit?

Pentru că un număr negativ ridicat la putere pară iese pozitiv, iar la putere impară rămâne negativ. Așa se face că $x^{2}$ urcă la $+ \infty$ în ambele capete, în timp ce $x^{3}$ urcă într-unul și coboară în celălalt. Regula se regăsește și la $\frac{1}{x ^{n}}$ în zero.

Trebuie ca punctul să aparțină domeniului ca să cer limita?

Nu; e destul ca el să fie punct de acumulare, adică să aibă în jur puncte ale domeniului oricât de apropiate. Tocmai de aceea se pot cere limite în $0$ pentru $\frac{1}{x}$ sau la $\pm \infty$ , unde funcția nici nu este definită.

Ce domeniu are radicalul de ordin par?

Mulțimea numerelor mai mari sau egale cu zero, fiindcă sub un radical de ordin par nu poate sta o cantitate negativă. Cel de ordin impar nu are restricția aceasta și se definește pe toată dreapta reală. Deosebirea schimbă și lista punctelor în care se cer limite.

Sunt x la 1 supra 3 și radicalul de ordinul al treilea aceeași funcție?

Nu. Puterea cu exponent real se definește doar pentru baze strict pozitive, deci $x^{1/3}$ lucrează pe $(0, + \infty)$ , în timp ce $3 x$ acceptă și numere negative. Pentru $x = - 8$ prima expresie nu are sens, a doua dă $- 2$ .

Cum aflu limita unei puteri într-un punct din domeniu?

Înlocuiești pur și simplu punctul în expresie: pentru funcțiile uzuale limita coincide cu valoarea. Astfel $x \to 2 lim x^{5} = 32$ , fără niciun calcul special. Efortul rămâne pentru punctele de acumulare care lipsesc din domeniu, cum sunt $0$ la $\frac{1}{x}$ și cele două infinituri.

Oamenii mai întreabă și: limitele funcției putere · limita radicalului la infinit · limita lui x la n · limita lui 1 supra x la n · domeniul funcției putere