Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

$$\operatorname{tg}$$ nu are limită în $$\dfrac{\pi}{2}$$, deoarece $$l_s\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=+\infty$$ și $$l_d\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\infty$$

$$\lim\limits_{x \to +\infty} \cos x = 0$$

$$\dfrac{\pi}{2}$$ nu este punct de acumulare al domeniului funcției $$\operatorname{tg}$$

$$\lim\limits_{x \to +\infty} \operatorname{tg} x = +\infty$$

Ce limite au funcțiile trigonometrice?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limitele funcțiilor trigonometrice

În orice punct din domeniu limita este valoarea funcției: $x \to x_{0} lim cos x = cos x_{0}$ . La $\pm \infty$ niciuna dintre cele patru nu are limită, fiindcă valorile se plimbă la nesfârșit între aceleași margini. În punctele scoase din domeniu decide semnul numitorului: tangenta are $l_{s} = + \infty$ și $l_{d} = - \infty$ în $\frac{π}{2}$ , cotangenta le are pe dos în $k π$ , deci limita lipsește în ambele cazuri.

În orice punct din domeniu, limita fiecăreia dintre cele patru funcții trigonometrice este chiar valoarea funcției acolo: $x \to x_{0} lim sin x = sin x_{0}$ și analoagele.

La $\pm \infty$ niciuna nu are limită. Pentru sinus se iau $x_{n} = 2 nπ$ (imagini $0$ ) și $y_{n} = \frac{π}{2} + 2 nπ$ (imagini $1$ ): două șiruri care tind la $+ \infty$ , cu limite diferite ale imaginilor. Formularea corectă este funcția nu are limită la $+ \infty$ — nu „limita oscilează” și nu „limita este infinită”. Mărginirea ( $- 1 \leq sin x \leq 1$ ) exclude limitele infinite, dar nu garantează una finită.

Punctele scoase din domeniu rămân puncte de acumulare, fiind puncte izolate, nu intervale. Pentru $tg x = \frac{sin x}{cos x}$ , în fiecare punct $\frac{π}{2} + k π$ : $l_{s} = + \infty$ , $l_{d} = - \infty$ , deci limita nu există. Pentru $ctg x = \frac{cos x}{sin x}$ , în fiecare punct $k π$ semnele sunt inversate: $l_{s} = - \infty$ , $l_{d} = + \infty$ , deci nici acolo limita nu există.

Nu memora semnele: reface în trei secunde discuția semnului numitorului. Periodicitatea de perioadă $π$ mută concluzia dintr-un punct în toate celelalte.

De reținut

în punctele domeniului, limita este valoarea funcției
la $\pm \infty$ nicio funcție trigonometrică nu are limită
pentru $tg$ în $\frac{π}{2}$ : $l_{s} = + \infty$ și $l_{d} = - \infty$

Greșeala tipică

Se memorează semnele lateralelor tangentei și se aplică la fel și la cotangentă. Semnele se refac de fiecare dată din studiul numitorului, fiindcă la cotangentă ele ies exact pe dos.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $x \to 2 π /3 lim sin x$ .
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $- \frac{3}{2}$
- c) $\frac{3}{2}$
- d) $- \frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{3}{2}$

Sinusul este definit pe tot $R$ , deci punctul aparține domeniului și limita este valoarea funcției: $sin \frac{2 π}{3} = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ (unghi din cadranul al doilea, unde sinusul este pozitiv). Varianta b) ar fi valoarea cosinusului cu semn schimbat, nu a sinusului.
Limitele laterale ale funcției cotangentă în punctul $π$ sunt, în ordinea $l_{s} (π)$ , $l_{d} (π)$ :
- a) $+ \infty$ și $- \infty$
- b) $+ \infty$ și $+ \infty$
- c) $0$ și $0$
- d) $- \infty$ și $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- \infty$ și $+ \infty$

Scriem $ctg x = \frac{cos x}{sin x}$ . La stânga lui $π$ , $sin x > 0$ și oricât de mic, iar $cos x$ e aproape de $- 1$ : raportul coboară spre $- \infty$ . La dreapta lui $π$ , $sin x < 0$ , deci raportul urcă spre $+ \infty$ . Varianta a) este ordinea de la tangentă, care e inversă.
Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
- a) $x \to + \infty lim cos x = 0$
- b) $tg$ nu are limită în $\frac{π}{2}$ , deoarece $l_{s} (\frac{π}{2}) = + \infty$ și $l_{d} (\frac{π}{2}) = - \infty$
- c) $\frac{π}{2}$ nu este punct de acumulare al domeniului funcției $tg$
- d) $x \to + \infty lim tg x = + \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $tg$ nu are limită în $\frac{π}{2}$ , deoarece $l_{s} (\frac{π}{2}) = + \infty$ și $l_{d} (\frac{π}{2}) = - \infty$

Cele două limite laterale există, dar sunt diferite, deci criteriul de existență nu e îndeplinit. La a), valorile cosinusului trec prin $0$ , dar trec și prin $1$ și prin $- 1$ — limita nu există. La c), din domeniu se scot puncte izolate, deci orice vecinătate conține o infinitate de puncte ale lui. La d), tangenta nu are limită la $+ \infty$ .

Întrebări conexe

Cât este limita cotangentei în zero?

Nu există. Cotangenta este $\frac{cos x}{sin x}$ , iar numitorul schimbă semnul trecând prin zero: la stânga obții $- \infty$ , la dreapta $+ \infty$ . Numărătorul se apropie de $1$ , deci el nu influențează cu nimic verdictul.

Cât este limita produsului dintre x și sinusul lui 1 supra x?

Este $0$ când $x$ tinde la zero, prin criteriul cleștelui: sinusul rămâne între $- 1$ și $1$ , iar factorul din față se strânge la zero. La plus infinit, în schimb, aceeași expresie tinde la $1$ , fiindcă devine raportul dintre sinusul unui unghi mic și acel unghi.

Cât este limita lui sin x în pi supra 6?

Este $\frac{1}{2}$ , adică chiar valoarea funcției acolo. Sinusul e definit pe toată dreapta reală, deci în orice punct limita se citește direct din tabelul valorilor. Aceeași regulă dă $x \to π lim cos x = - 1$ .

Ce limite laterale are tangenta în pi supra 2?

La stânga cosinusul se apropie de zero prin valori pozitive, iar sinusul este aproape $1$ , deci raportul urcă la $+ \infty$ . La dreapta cosinusul devine negativ, deci raportul coboară la $- \infty$ . Fiind diferite, limita nu există, iar concluzia se repetă din $π$ în $π$ .

De ce nu se spune că limita sinusului oscilează?

Fiindcă „oscilează” nu este un verdict matematic. Formularea acceptată la examen este că funcția nu are limită în punctul cerut, iar justificarea se face cu două șiruri. Nici „limita este infinită” nu merge, mărginirea excluzând acest caz.

De ce arctangenta are limită la infinit, iar tangenta nu?

Arctangenta este monotonă și mărginită, deci valorile ei se apropie de $\frac{π}{2}$ la $+ \infty$ . Tangenta, în schimb, reia la nesfârșit același tur de valori din cauza perioadei, deci nu se așază lângă niciun număr și nu are limită la capete.

Oamenii mai întreabă și: limita funcției sinus · limita tangentei · are sinusul limită la infinit · limitele funcțiilor trigonometrice la infinit · limita cotangentei