Cât face q la puterea n când n tinde la infinit?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limitele șirurilor putere și geometric

Răspunsul depinde de rație. Pentru $q > 1$ șirul crește nemărginit, deci limita este $+ \infty$ ; pentru $q = 1$ toți termenii sunt $1$ , deci limita este $1$ ; pentru $- 1 < q < 1$ termenii se sting și limita este $0$ ; pentru $q \leq - 1$ șirul sare între valori de semne opuse și nu are limită. Așadar convergență există exact pentru $q$ din intervalul $(- 1, 1]$ .

Două familii de șiruri se rezolvă o dată pentru totdeauna, iar apoi orice limită complicată se reduce la ele. Deosebirea dintre ele stă în locul unde este scris rangul: la $n^{a}$ rangul este baza, la $q^{n}$ este exponentul.

Șirul $(n^{a})$ : limita este $+ \infty$ pentru $a > 0$ , $1$ pentru $a = 0$ și $0$ pentru $a < 0$ . De aici $n \to \infty lim n = + \infty$ , $n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0$ , $n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = 0$ .

Șirul $(q^{n})$ , patru cazuri: limita este $0$ pentru $∣ q ∣ < 1$ ; $1$ pentru $q = 1$ ; $+ \infty$ pentru $q > 1$ ; iar pentru $q \leq - 1$ șirul nu are limită. Atenție la capătul $q = - 1$ , care intră în ultimul caz. Prin urmare $(q^{n})$ este convergent exact pentru $q \in (- 1, 1]$ .

Unealta demonstrațiilor este inegalitatea lui Bernoulli, $(1 + h)^{n} \geq 1 + nh$ pentru $h > - 1$ : ea coboară exponentul la gradul întâi. Ea dă un rang sigur, nu cel mai mic rang. Pentru $q \leq - 1$ se folosesc două subșiruri cu limite diferite, iar concluzia se scrie „nu are limită”, niciodată „limita este $\pm \infty$ ”. O progresie geometrică cu $∣ q ∣ < 1$ are, prin aceeași estimare, limita $0$ .

De reținut

$q > 1 \Rightarrow + \infty$ ; $q = 1 \Rightarrow 1$ ; $∣ q ∣ < 1 \Rightarrow 0$ ; $q \leq - 1 \Rightarrow$ fără limită
$n^{a} \to + \infty$ pentru $a > 0$ ; $n^{a} \to 0$ pentru $a < 0$
Exponențiala cu baza supraunitară domină orice putere fixă

Greșeala tipică

Se scrie că $(- 1)^{n}$ tinde la zero, fiindcă valorile „se compensează”. Termenii rămân la distanța $1$ de zero la fiecare rang, deci șirul nu se apropie de nimic și nu are limită.

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea limitei $n \to \infty lim (- \frac{3}{4})^{n}$ este:
- a) limita nu există
- b) $- \infty$
- c) $- 1$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $0$

Avem $- \frac{3}{4} = \frac{3}{4} < 1$ , deci suntem în primul caz al tabelului și limita este $0$ . Alternanța semnului nu deranjează: în definiție intervine doar distanța până la $0$ , adică $∣ q ∣^{n}$ , care coboară sub orice prag.
Pentru care dintre valorile de mai jos ale lui $q$ șirul $(q^{n})_{n \geq 1}$ nu are limită?
- a) $q = - \frac{1}{2}$
- b) $q = 1$
- c) $q = - 1$
- d) $q = \frac{4}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $q = - 1$

Cazul „nu există limită” este $q \leq - 1$ , deci include valoarea $q = - 1$ : subșirul de rang par este constant $1$ , cel de rang impar este constant $- 1$ , iar limitele diferă. Pentru $q = - \frac{1}{2}$ limita este $0$ , pentru $q = 1$ este $1$ , iar pentru $q = \frac{4}{3} > 1$ este $+ \infty$ .
Perechea $(n \to \infty lim n^{\frac{1}{3}}, n \to \infty lim (\frac{1}{3})^{n})$ este:
- a) $(0, 0)$
- b) $(+ \infty, 0)$
- c) $(+ \infty, + \infty)$
- d) $(0, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(+ \infty, 0)$

Sunt două tabele diferite. La $n^{\frac{1}{3}} = 3 n$ rangul este baza, iar exponentul $\frac{1}{3} > 0$ dă limita $+ \infty$ (creșterea e lentă, dar nemărginită: $3 1 0^{6} = 100$ ). La $(\frac{1}{3})^{n}$ rangul este exponentul, iar baza subunitară dă limita $0$ .

Întrebări conexe

Cât face 0,5 la puterea n când n crește?

Tinde la $0$ , fiindcă rația are modulul sub $1$ , iar înmulțirile repetate cu ea micșorează termenii oricât de mult. Primii termeni sunt $0, 5$ , $0, 25$ , $0, 125$ , deci scăderea este rapidă.

Ce limită are suma unei progresii geometrice cu rație subunitară?

Suma primilor $n$ termeni tinde la $\frac{b _{1}}{1 - q}$ , fiindcă în formula sumei factorul $q^{n}$ se stinge. Pentru $b_{1} = 1$ și $q = \frac{1}{2}$ rezultatul este $2$ , oricâți termeni s-ar adăuga.

Ce limită are șirul cu termenul general 1 supra n la pătrat?

Tinde la $0$ , chiar mai repede decât $\frac{1}{n}$ . În general, orice șir de forma $\frac{1}{n ^{a}}$ cu exponent pozitiv are limita zero, iar cu exponent negativ tinde la infinit.

Care crește mai repede: 2 la puterea n sau n la puterea 10?

Puterea cu exponent variabil, adică $2^{n}$ , deși la ranguri mici pare mult mai mică. Raportul dintre ele tinde la infinit, ceea ce arată că orice exponențială cu baza peste $1$ depășește, în cele din urmă, orice putere fixă.

Ce limită are un șir geometric cu rația egală cu 1?

Este șirul constant format din primul termen, deci limita este chiar acea valoare. Este singurul caz în care rația unitară apare, iar el nu trebuie confundat cu nedeterminarea $1^{\infty}$ , unde baza doar tinde la unu.

Cum compar două șiruri geometrice cu rații diferite?

Faci raportul lor, care este tot geometric, cu rația egală cu raportul rațiilor. Limita acestui nou șir spune care dintre cele două domină: dacă iese infinit, primul crește mai repede.

Oamenii mai întreabă și: limita lui q la puterea n · limita unei progresii geometrice · când tinde la zero q la n · limita șirului n la puterea a