Care logaritm se folosește pentru a calcula timpul de dublare al unei populații care crește continuu, $$N(t)=N_0\cdot e^{kt}$$?

oricare dintre ele, rezultatul e identic

niciunul, se folosește doar radicalul

Cât este ln 1?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Logaritm natural (ln) și zecimal (lg)

Este $0$ . Logaritmul natural caută exponentul la care trebuie ridicat numărul $e$ ca să obții argumentul, iar $e^{0} = 1$ . Regula ține pentru orice bază admisibilă, deci și $l g 1 = 0$ . Alte valori care se rețin: $ln e = 1$ , $l g 10 = 1$ , $ln 2 \approx 0, 693$ și $l g 2 \approx 0, 301$ . Logaritmul natural are ca bază numărul $e$ , iar cel zecimal are baza $10$ ; pe calculator ele au taste separate.

Logaritmul zecimal, notat $l g x = lo g_{10} x$ , numără ordinele de mărime: o creștere cu $1$ a lui $l g$ înseamnă înmulțirea numărului cu $10$ ( $l g 1000 = 3$ , pentru că $1 0^{3} = 1000$ ). O consecință utilă: partea întreagă a lui $l g N$ este numărul de cifre ale lui $N$ minus $1$ — de exemplu $l g 2500 \approx 3, 398$ , deci $2500$ are $4$ cifre.

Logaritmul natural, notat $ln x = lo g_{e} x$ , folosește ca bază numărul $e \approx 2, 718$ și este potrivit pentru procesele care evoluează continuu: dobândă capitalizată în fiecare clipă, creșteri de populații, dezintegrare radioactivă, toate descrise prin $N (t) = N_{0} \cdot e^{k t}$ . Egalitățile de bază capătă aici forma $ln 1 = 0$ , $ln e = 1$ , $ln e^{n} = n$ , $e^{l n x} = x$ .

Valori de reținut, rotunjite la trei zecimale: $ln 2 \approx 0, 693$ , $ln 10 \approx 2, 303$ , $l g 2 \approx 0, 301$ , $l g 5 \approx 0, 699$ . Valoarea $ln 2$ apare în timpul de dublare la creștere continuă, $t = \frac{ln 2}{k}$ .

Pe calculatoarele științifice, tasta „log" calculează $l g$ , iar „ln" calculează logaritmul natural. Atenție: în multe limbaje de programare și în matematica superioară, log înseamnă logaritm natural, nu zecimal — verifică mereu convenția sursei.

De reținut

$ln x = lo g_{e} x$ , $l g x = lo g_{10} x$
$ln 1 = 0$ , $ln e = 1$ , $ln e^{n} = n$
din $l g N$ afli câte cifre are $N$ : treapta lui, plus unu

Greșeala tipică

Tasta „log” de pe calculatoarele de buzunar este luată drept logaritm natural, deși ea calculează logaritmul zecimal; logaritmul natural are tasta lui separată.

Exerciții din această mini-lecție

Ce înseamnă notația $ln x$ ?
- a) $lo g_{10} x$
- b) $lo g_{e} x$
- c) $lo g_{x} e$
- d) $lo g_{2} x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $lo g_{e} x$

$ln x$ este logaritmul natural, adică logaritmul în baza $e$ : $ln x = lo g_{e} x$ , cu $e \approx 2, 718$ .
Un număr natural $N$ are $l g N \approx 4, 7$ . Câte cifre are $N$ ?
- a) $4$
- b) $5$
- c) $47$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

Partea întreagă a lui $l g N$ este $4$ , deci $1 0^{4} \leq N < 1 0^{5}$ , adică $N$ are $4 + 1 = 5$ cifre.
Care logaritm se folosește pentru a calcula timpul de dublare al unei populații care crește continuu, $N (t) = N_{0} \cdot e^{k t}$ ?
- a) logaritmul zecimal $l g$
- b) logaritmul natural $ln$
- c) oricare dintre ele, rezultatul e identic
- d) niciunul, se folosește doar radicalul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) logaritmul natural $ln$

Formula timpului de dublare este $t = \frac{ln 2}{k}$ : se folosește logaritmul natural, pentru că procesul continuu este descris cu baza $e$ .

Întrebări conexe

Cât este ln e și cât este ln din e la puterea a treia?

Primul este $1$ , fiindcă numărul $e$ ridicat la puterea întâi se dă pe sine. Al doilea este $3$ , fiindcă logaritmul natural întoarce exact exponentul: $ln e^{n} = n$ . Regula funcționează pentru orice exponent, inclusiv negativ sau fracționar.

Cât este lg 1000?

Este $3$ , fiindcă $1 0^{3} = 1000$ . Logaritmul zecimal numără ordinele de mărime: fiecare unitate în plus înseamnă înmulțire cu zece. Tot așa, $l g 0, 0001 = - 4$ , fiindcă acel număr se scrie ca zece la puterea minus patru.

Cum rezolv ecuația ln x egal 2?

Treci în formă de putere: $x = e^{2}$ , adică aproximativ $7, 389$ . Verifici că rezultatul este strict pozitiv, deci face parte din domeniu. Valoarea găsită este singura, fiindcă logaritmul natural este strict crescător și nu repetă nicio imagine.

Cât este ln din unu supra e?

Este $- 1$ , fiindcă acel număr se scrie ca $e^{- 1}$ , iar logaritmul natural întoarce exact exponentul. Rezultatul negativ arată că argumentul este subunitar, adică se află între zero și unu. În zecimale, $\frac{1}{e} \approx 0, 368$ , deci logaritmul lui iese sub zero.

Unde se folosește logaritmul natural în afara matematicii?

Apare oriunde o mărime crește sau scade fără întrerupere: dobânda capitalizată continuu, creșterea unei populații, dezintegrarea radioactivă. Timpul de dublare al unui asemenea proces se calculează cu raportul dintre $ln 2$ și rata de creștere.

Cum calculez logaritmul natural dintr-un produs?

Îl desfaci în sumă: logaritmul unui produs este suma logaritmilor factorilor, dacă amândoi sunt strict pozitivi. La cât se face diferență, iar la putere exponentul iese în față. Aceste reguli scurtează calculele și transformă înmulțirile în adunări.

Oamenii mai întreabă și: cât face ln 1 · logaritm natural din 1 · care este diferența dintre ln și lg · logaritm natural și logaritm zecimal