Logaritm natural și logaritm zecimal

Ia în mână un calculator științific și uită-te la taste. Vei găsi acolo două butoane de logaritm, nu unul singur: log și ln. Nicăieri nu există o tastă pentru ${\log }_2$, ${\log }_5$ sau ${\log }_7$, deși în lecția despre logaritm am lucrat cu tot felul de baze. De ce tocmai două, și de ce anume acelea?

Răspunsul are două jumătăți, una practică și una naturală. Prima: noi numărăm în baza 10, deci logaritmul în baza 10 ne spune direct „câte zerouri", „câte cifre", „câte ordine de mărime" — este limba în care se scriu scările din chimie, acustică și seismologie. A doua: procesele care se desfășoară continuu — banii cu dobândă capitalizată în fiecare clipă, populațiile, dezintegrarea radioactivă — sunt guvernate de numărul $e$ pe care l-ai întâlnit în lecția despre numărul e și funcția exponențială naturală, iar logaritmul potrivit pentru ele este cel în baza $e$. Aceste două baze consacrate, 10 și $e$, și-au câștigat notații proprii: $\lg$ și $\ln$. Despre ele este lecția de față.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă logaritmul zecimal $\lg x={\log }_{10}x$ și logaritmul natural $\ln x={\log }_{e}x$, cu notațiile lor consacrate.
• Vei ști să calculezi fără calculator logaritmii zecimali ai puterilor lui 10 și logaritmii naturali ai puterilor lui $e$.
• Vei ști să folosești corect tastele „log" și „ln" ale calculatorului și să eviți confuziile de notație.
• Vei ști să reții și să folosești valorile de referință $\ln 2\approx 0,693$, $\ln 10\approx 2,303$, $\lg 2\approx 0,301$, $\lg 5\approx 0,699$.
• Vei ști să legi partea întreagă a lui $\lg N$ de numărul de cifre ale lui $N$.
• Vei ști unde se folosește fiecare: $\lg$ la scările logaritmice, $\ln$ la procesele de creștere și descreștere continuă.

Hai să descoperim împreună

1. Logaritmul zecimal: baza 10

Definiție. Logaritmul în baza 10 al unui număr $x>0$ se numește logaritm zecimal și se notează $\lg x$ (sau, pe multe calculatoare și în multe manuale, simplu $\log x$):

$$\lg x={\log }_{10}x,\text{adica˘}\lg x=c⟺10^c=x.$$

Pentru puterile lui 10, valorile ies imediat:

Citit invers, tabelul spune ceva foarte concret: $\lg x$ numără ordinele de mărime. Un număr cu logaritmul zecimal 6 este de un milion de ori mai mare decât unul cu logaritmul 0. Diferența de 1 pe scara logaritmică înseamnă, în lumea reală, înmulțire cu 10.

De aceea baza 10 este alegerea firească oriunde măsurăm mărimi care se întind pe multe ordine de mărime: aciditatea unei soluții, intensitatea unui sunet, energia unui cutremur. Toate aceste scări — subiectul lecției despre scări logaritmice — sunt construite cu $\lg$.

2. Numărul de cifre, citit din logaritm

Iată o consecință surprinzător de utilă. Un număr natural $N$ are exact $k$ cifre dacă și numai dacă

$$10^{k-1}\le N<10^k.$$

Aplicând funcția logaritmică zecimală, care este strict crescătoare, obținem

$$k-1\le \lg N<k.$$

Cu alte cuvinte: partea întreagă a lui $\lg N$ este numărul de cifre minus 1.

Exemple. $\lg 2500\approx 3,398$, iar partea întreagă este 3, deci 2500 are $3+1=4$ cifre ✓. $\lg 12345\approx 4,091$, parte întreagă 4, deci 5 cifre ✓.

Reciproc, dacă un calculator îți spune că $\lg N\approx 7,3$, știi instantaneu că $N$ are 8 cifre — undeva între 10 și 100 de milioane. Astronomii și informaticienii folosesc zilnic această citire rapidă a ordinului de mărime.

3. Logaritmul natural: baza e

Definiție. Logaritmul în baza $e$ al unui număr $x>0$ se numește logaritm natural și se notează $\ln x$:

$$\ln x={\log }_{e}x,\text{adica˘}\ln x=c⟺e^c=x.$$

Notația vine din latinescul logarithmus naturalis. Valorile pentru puterile lui $e$ ies din definiție:

Cele patru egalități de bază din lecția despre logaritm capătă aici forma lor cea mai folosită:

$$\ln 1=0,\ln e=1,\ln e^n=n,e^{\ln x}=x(x>0).$$

Ultimele două spun, încă o dată, că $\ln$ și $e^x$ se anulează reciproc: sunt funcții inverse, iar graficele lor sunt simetrice față de prima bisectoare, exact cum ai văzut în lecția despre funcția logaritmică.

De ce i se spune „natural"? Pentru că apare de la sine în orice proces care se desfășoară continuu. Dacă o mărime evoluează după legea $N(t)=N_0\cdot e^{kt}$, atunci întrebarea „după cât timp se dublează?" sau „după cât timp scade la jumătate?" are răspunsul scris cu $\ln$, cum vom vedea imediat.

4. Calculatorul: tastele „log" și „ln"

Pe aproape toate calculatoarele științifice:

• tasta log calculează logaritmul zecimal, adică $\lg$;
• tasta ln calculează logaritmul natural, adică ${\log }_e$.

Verifică asta chiar acum, cu un test infailibil: tastează log 100. Dacă rezultatul e $2$, tasta e într-adevăr logaritmul zecimal. Apoi tastează ln 1; rezultatul trebuie să fie $0$, iar ln urmat de valoarea lui $e$ trebuie să dea $1$.

Atenție la o capcană reală. În matematica superioară, în multe cărți de fizică și în majoritatea limbajelor de programare (Python, C, Java), notația log înseamnă logaritm natural, nu zecimal! Acolo, logaritmul zecimal se scrie log10. De aceea, în lecțiile de liceu vom folosi notațiile fără echivoc: $\lg$ pentru baza 10 și $\ln$ pentru baza $e$. Când citești o formulă dintr-o sursă nouă, verifică întotdeauna ce convenție folosește.

Câteva valori pe care merită să le calculezi tu însuți acum, ca să te obișnuiești cu tastele:

Toate valorile sunt rotunjite la trei zecimale — de aceea scriem $\lg 2\approx 0,301$, cu semnul de aproximare.

Verificarea rezultatului e simplă și merită făcută mereu: dacă $\lg 7\approx 0,845$, atunci $10^{0,845}$ trebuie să dea aproximativ 7. Calculatorul răspunde $6,998$ — diferența vine doar din rotunjire. ✓

5. Cum se compară ln și lg

Privind tabelul de mai sus, observi că $\ln x>\lg x$ pentru orice $x>1$. Nu e o coincidență. Baza $e\approx 2,718$ este mai mică decât baza 10, iar o bază mai mică are nevoie de un exponent mai mare ca să ajungă la același număr. De exemplu, pentru a ajunge la 5:

$$e^{1,609}\approx 5\text{dar}10^{0,699}\approx 5.$$

Baza 10, fiind „mai puternică", ajunge la 5 cu un exponent mai mic.

Ambele funcții au însă același semn pe tot domeniul, pentru că ambele baze sunt supraunitare:

• negative pe $(0,1)$: $\ln 0,5\approx -0,693$, $\lg 0,5\approx -0,301$;
• nule în $x=1$: $\ln 1=\lg 1=0$;
• pozitive pe $(1,+\infty )$.

Și ambele grafice trec prin punctul $(1,0)$ și au axa $Oy$ ca asimptotă verticală. Diferă doar prin „viteza" de urcare: curba lui $\ln$ urcă mai repede decât cea a lui $\lg$.

6. Unde folosim logaritmul natural: timpul de dublare

Aici se vede cel mai bine de ce $\ln$ merită numele de „natural". Reluăm modelul creșterii continue:

$$N(t)=N_0\cdot e^{kt},$$

unde $N_0$ este valoarea inițială, iar $k$ rata de creștere (dacă $k>0$) sau de descreștere (dacă $k<0$). Întrebarea firească a oricărui economist, biolog sau fizician este: după cât timp se dublează valoarea (sau se înjumătățește)?

Condiția „valoarea s-a dublat" înseamnă $e^{kt}=2$, iar prin definiția logaritmului natural exponentul căutat este $kt=\ln 2$, deci

$$t_{\text{dublare}}=\frac{\ln 2}{k}\approx \frac{0,693}{k}.$$

Un exemplu concret. Un depozit bancar cu dobândă de 3% pe an, capitalizată continuu, are $k=0,03$, deci se dublează în

$$t=\frac{0,693}{0,03}\approx 23,1\text{ ani}.$$

Analog, pentru o descreștere cu $k<0$ — o substanță radioactivă, un medicament eliminat din organism, o ceașcă de ceai care se răcește — timpul de înjumătățire este $t=\frac{\ln 2}{|k|}$.

Observă cât de convenabil e rezultatul: în ambele cazuri apare aceeași constantă, $\ln 2\approx 0,693$. De aceea $\ln 2$ este, probabil, cea mai des folosită valoare logaritmică din științele aplicate. Merită memorată.

7. Trecerea de la o bază la alta, ca rețetă de calculator

Rămâne o problemă practică: cum calculezi ${\log }_{2}10$, dacă tastele calculatorului nu au baza 2? Există o formulă de schimbare a bazei, pe care o vei demonstra riguros în clasa a X-a, dar pe care o poți folosi de pe acum ca rețetă:

$${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}=\frac{\lg b}{\lg a}.$$

Aplicație: ${\log }_{2}10=\frac{\ln 10}{\ln 2}\approx \frac{2,303}{0,693}\approx 3,322$. Verificare de bun-simț: $2^3=8<10<16=2^4$, deci rezultatul trebuie să fie între 3 și 4 ✓.

Cele două variante ale formulei — cu $\ln$ sau cu $\lg$ — dau același rezultat; folosește-o pe cea care ți se pare mai comodă. Un caz particular frumos, pe care îl vei verifica la exerciții: $\lg e\cdot \ln 10=1$.

8. Ce nu facem acum

Proprietățile operatorii ale logaritmilor — $\ln (xy)=\ln x+\ln y$ și celelalte — precum și rezolvarea algebrică a ecuațiilor logaritmice și exponențiale sunt materie de clasa a X-a. În clasa a IX-a folosim definiția, calculatorul și lecturile grafice. Este exact ce ne trebuie ca să înțelegem, în lecția următoare, de ce pH-ul, decibelii și magnitudinea cutremurelor se măsoară logaritmic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Logaritmi zecimali fără calculator

Calculați: $\lg 10000$, $\lg 0,01$, $\lg 1$ și $\lg \sqrt{10}$.

Rezolvare. Scriem fiecare argument ca putere a lui 10:

• $10000=10^4\Rightarrow \lg 10000=4$;
• $0,01=10^{-2}\Rightarrow \lg 0,01=-2$;
• $1=10^0\Rightarrow \lg 1=0$;
• $\sqrt{10}=10^{1/2}\Rightarrow \lg \sqrt{10}=\frac{1}{2}=0,5$. ✓

Exemplul 2 — Logaritmi naturali fără calculator

Calculați: $\ln e^3$, $\ln \frac{1}{e}$, $\ln 1$ și $e^{\ln 12}$.

Rezolvare. Folosim egalitățile de bază:

• $\ln e^3=3$ (regula $\ln e^n=n$);
• $\ln \frac{1}{e}=\ln e^{-1}=-1$;
• $\ln 1=0$, pentru că $e^0=1$;
• $e^{\ln 12}=12$ (regula $e^{\ln x}=x$). ✓

Observă că niciunul dintre aceste calcule nu are nevoie de valoarea numerică a lui $e$.

Exemplul 3 — Cu calculatorul, cu verificare

Calculați $\lg 7$ și $\ln 7$, rotunjind la trei zecimale, apoi verificați rezultatele.

Rezolvare. Cu tastele calculatorului: $\lg 7\approx 0,845$ și $\ln 7\approx 1,946$.

Verificare: $10^{0,845}\approx 6,998$ și $e^{1,946}\approx 7,001$ — ambele foarte aproape de 7, diferențele venind din rotunjirea la trei zecimale.

Verificare suplimentară, prin încadrare: $10^0=1<7<10=10^1$, deci $\lg 7$ trebuie să fie între 0 și 1 ✓; iar $e^1\approx 2,72<7<7,39\approx e^2$, deci $\ln 7$ trebuie să fie între 1 și 2 ✓. ✓

Exemplul 4 — Numărul de cifre

Un număr natural $N$ are $\lg N\approx 5,7$. Câte cifre are $N$? Între ce puteri ale lui 10 se află?

Rezolvare. Partea întreagă a lui $\lg N$ este 5, deci

$$10^5\le N<10^6,\text{adica˘}100000\le N<1000000.$$

Prin urmare $N$ are 6 cifre: partea întreagă a logaritmului zecimal plus unu. ✓

Exemplul 5 — Timpul de dublare

O populație de bacterii crește după legea $N(t)=800\cdot e^{0,05t}$, cu $t$ măsurat în ore. După cât timp se dublează populația?

Rezolvare. Dublarea înseamnă $N(t)=1600$, adică $800\cdot e^{0,05t}=1600$, deci $e^{0,05t}=2$.

Prin definiția logaritmului natural, exponentul care produce 2 este $\ln 2$:

$$0,05t=\ln 2\approx 0,693⟹t\approx \frac{0,693}{0,05}\approx 13,9\text{ ore}.$$

Observă că răspunsul nu depinde de populația inițială: și dacă am fi pornit de la 5000 de bacterii, dublarea ar fi durat tot circa 13,9 ore. Aceasta este marca creșterii exponențiale. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Calculați $E=\lg 1000+\ln e^2-\lg 0,1+\ln 1$.

Rezolvare. Fiecare termen se calculează din definiție:

• $\lg 1000=3$, pentru că $10^3=1000$;
• $\ln e^2=2$;
• $\lg 0,1=-1$, pentru că $10^{-1}=0,1$;
• $\ln 1=0$.

Deci

$$E=3+2-(-1)+0=6.$$

Atenție la al treilea termen: se scade un număr negativ, deci se adună. Acolo se pierd cele mai multe puncte la astfel de exerciții. ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Unde folosești calculatorul, rotunjește la trei zecimale și scrie semnul $\approx$.

1. Calculează, fără calculator: $\lg 10$, $\lg 100$, $\lg 1000$, $\lg 1$, $\lg 0,1$.

2. Calculează, fără calculator: $\ln 1$, $\ln e$, $\ln e^4$, $\ln \frac{1}{e^2}$.

3. Scrie în formă exponențială: $\lg 10000=4$; $\ln 20\approx 3$; $\lg 0,001=-3$.

4. Calculează cu calculatorul, rotunjind la trei zecimale: $\lg 2$, $\lg 3$, $\lg 5$, $\lg 7$.

5. Calculează cu calculatorul, rotunjind la trei zecimale: $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 5$, $\ln 10$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\lg 0=0$, pentru că zero nu are nicio cifră semnificativă."

7. Încadrează $\lg 4500$ între două numere întregi consecutive, fără calculator. Câte cifre are 4500 și cum se vede acest lucru din încadrare?

8. Un număr natural $N$ are $\lg N\approx 7,3$. Câte cifre are $N$? Între ce puteri ale lui 10 se află?

9. Verifică prin calcul: $10^{\lg 5}=5$; $e^{\ln 9}=9$; $\lg 10^{2,5}=2,5$; $\ln e^{-3}=-3$.

10. Compară, fără calculator, $\ln 5$ și $\lg 5$. Justifică folosind faptul că $e<10$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $x>0$, numerele $\ln x$ și $\lg x$ au același semn."

12. Determină numărul $x$, folosind definiția: a) $\lg x=3$; b) $\ln x=0$; c) $\ln x=2$ (rotunjește la trei zecimale); d) $\lg x=-2$.

13. (Problemă aplicată.) Un depozit bancar crește continuu cu 4% pe an, adică $S(t)=S_0\cdot e^{0,04t}$. După câți ani se dublează suma? Depinde răspunsul de suma inițială?

14. (Problemă aplicată.) O substanță radioactivă se dezintegrează după legea $A(t)=A_0\cdot e^{-0,05t}$, cu $t$ în ore. Calculează timpul de înjumătățire, adică momentul la care mai rămâne jumătate din cantitatea inițială.

15. Explică în două-trei fraze de ce, pe multe calculatoare și în limbaje de programare, notația „log" nu înseamnă același lucru. Ce notații folosim, pentru a evita confuzia?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Calculați $\lg 100+\ln e^3-\lg 1$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Arătați că $\lg 0,01+\ln e=-1$.

18. (Provocare.) Folosind formula de schimbare a bazei, calculează ${\log }_{2}10$ și ${\log }_{3}10$ cu calculatorul, apoi arată că $\lg e\cdot \ln 10=1$. Explică de ce rezultatul acesta era de așteptat.

Răspunsuri și explicații

1. $\lg 10=1$; $\lg 100=2$; $\lg 1000=3$; $\lg 1=0$; $\lg 0,1=-1$ (căci $0,1=10^{-1}$).

2. $\ln 1=0$; $\ln e=1$; $\ln e^4=4$; $\ln \frac{1}{e^2}=\ln e^{-2}=-2$.

3. $10^4=10000$; $e^3\approx 20$ (verificare: $e^3\approx 20,086$, deci aproximarea e bună); $10^{-3}=0,001$.

4. $\lg 2\approx 0,301$; $\lg 3\approx 0,477$; $\lg 5\approx 0,699$; $\lg 7\approx 0,845$. Toate sunt între 0 și 1, pentru că argumentele sunt între 1 și 10.

5. $\ln 2\approx 0,693$; $\ln 3\approx 1,099$; $\ln 5\approx 1,609$; $\ln 10\approx 2,303$.

6. Fals. $\lg 0$ nu există: argumentul unui logaritm trebuie să fie strict pozitiv, iar nicio putere a lui 10 nu dă zero. Valoarea zero a logaritmului se obține pentru argumentul 1: $\lg 1=0$.

7. $10^3=1000<4500<10000=10^4$, deci $3<\lg 4500<4$. Numărul 4500 are 4 cifre, iar partea întreagă a logaritmului este $3=4-1$. (Cu calculatorul: $\lg 4500\approx 3,653$.)

8. Partea întreagă a lui $\lg N$ este 7, deci $10^7\le N<10^8$, adică $N$ se află între zece milioane și o sută de milioane și are 8 cifre.

9. $10^{\lg 5}=5$ prin regula $a^{{\log }_{a}b}=b$; $e^{\ln 9}=9$ prin aceeași regulă; $\lg 10^{2,5}=2,5$ prin regula ${\log }_a{a}^n=n$; $\ln e^{-3}=-3$, la fel.

10. $\ln 5>\lg 5$. Justificare: pentru a ajunge la același număr 5, o bază mai mică ($e\approx 2,72$) are nevoie de un exponent mai mare decât o bază mai mare (10). Numeric: $1,609>0,699$ ✓.

11. Adevărat. Ambele baze, $e$ și $10$, sunt supraunitare, deci ambele funcții sunt strict crescătoare și se anulează în $x=1$. Prin urmare, ambele sunt negative pe $(0,1)$, nule în $1$ și pozitive pe $(1,+\infty )$ — au mereu același semn, deși valori diferite.

12. a) $x=10^3=1000$. b) $x=e^0=1$. c) $x=e^2\approx 7,389$. d) $x=10^{-2}=0,01$.

13. Dublarea cere $e^{0,04t}=2$, deci $0,04t=\ln 2\approx 0,693$ și $t\approx \frac{0,693}{0,04}\approx 17,3$ ani. Răspunsul nu depinde de suma inițială: $S_0$ se simplifică din ecuație. Un depozit de 100 de lei și unul de un milion se dublează în același timp.

14. Înjumătățirea cere $e^{-0,05t}=\frac{1}{2}$, adică $e^{0,05t}=2$, deci $0,05t=\ln 2\approx 0,693$ și $t\approx \frac{0,693}{0,05}\approx 13,9$ ore.

15. Pe calculatoarele științifice, „log" înseamnă de obicei logaritm zecimal (baza 10), iar „ln" logaritm natural (baza $e$). În schimb, în matematica superioară și în limbaje precum Python, C sau Java, funcția log calculează logaritmul natural, iar cea zecimală se numește log10. Pentru a evita confuzia, folosim notațiile fără echivoc $\lg$ (baza 10) și $\ln$ (baza $e$) și verificăm întotdeauna convenția sursei pe un caz simplu, de exemplu $\log 100$.

16. $\lg 100=2$; $\ln e^3=3$; $\lg 1=0$. Rezultatul: $2+3-0=5$.

17. $\lg 0,01=-2$, pentru că $10^{-2}=0,01$; $\ln e=1$. Suma: $-2+1=-1$ ✓.

18. ${\log }_{2}10=\frac{\ln 10}{\ln 2}\approx \frac{2,303}{0,693}\approx 3,322$ (încadrare de control: între 3 și 4, căci $8<10<16$ ✓). ${\log }_{3}10=\frac{\ln 10}{\ln 3}\approx \frac{2,303}{1,099}\approx 2,096$ (între 2 și 3, căci $9<10<27$ ✓). Pentru ultima parte: $\lg e=\frac{\ln e}{\ln 10}=\frac{1}{\ln 10}\approx \frac{1}{2,303}\approx 0,434$, deci $\lg e\cdot \ln 10\approx 0,434\cdot 2,303\approx 1$. Era de așteptat: cele două numere sunt inverse unul altuia, pentru că trecerea de la baza $e$ la baza 10 și trecerea inversă se anulează reciproc.

De reținut

• Logaritmul zecimal este $\lg x={\log }_{10}x$; el numără ordinele de mărime: o creștere cu 1 a lui $\lg$ înseamnă înmulțirea numărului cu 10.
• Logaritmul natural este $\ln x={\log }_{e}x$, cu $e\approx 2,718$; el este logaritmul potrivit pentru procesele continue, modelate prin $N(t)=N_0\cdot e^{kt}$.
• Egalitățile de bază: $\lg 10^n=n$, $\ln e^n=n$, $\lg 1=\ln 1=0$, $10^{\lg x}=x$, $e^{\ln x}=x$ (pentru $x>0$).
• Valori de memorat: $\lg 2\approx 0,301$, $\lg 5\approx 0,699$, $\ln 2\approx 0,693$, $\ln 10\approx 2,303$. Timpul de dublare la creștere continuă este $t=\frac{\ln 2}{k}$.
• Partea întreagă a lui $\lg N$ = numărul de cifre ale lui $N$, minus 1. Pe calculator, tasta „log" înseamnă $\lg$, iar tasta „ln" înseamnă logaritm natural — dar în programare convențiile diferă.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre tastele „log" și „ln". Verifică întotdeauna convenția pe un caz cunoscut: dacă log 100 dă 2, e logaritm zecimal; dacă dă aproximativ 4,6, e logaritm natural.
• „$\lg 0=0$" sau „$\ln 0=0$." Niciunul nu există: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Valoarea zero se obține pentru argumentul 1.
• Scrierea $\lg 2=0,301$ cu semn de egal. Valoarea este irațională; corect este $\lg 2\approx 0,301$. Aceeași grijă ca la $e\approx 2,718$.
• Se uită că logaritmul poate fi negativ. $\lg 0,01=-2$ este perfect corect. Argumentul subunitar dă logaritm negativ, atât la $\lg$, cât și la $\ln$.
• Se confundă $\ln 2$ cu $\lg 2$ în formule aplicate. Timpul de dublare la creștere continuă se calculează cu $\ln 2\approx 0,693$, nu cu $\lg 2\approx 0,301$. Folosirea valorii greșite schimbă rezultatul de peste două ori.

Aplică acasă

1. Testul calculatorului. Ia calculatorul de la școală, pe cel din telefon și, dacă ai, o aplicație de programare. Pentru fiecare, calculează log 100 și ln 100 și notează ce rezultat dă fiecare. Scrie într-un tabel ce convenție folosește fiecare unealtă — vei avea nevoie de asta la fizică și la chimie.

2. Câte cifre? Alege cinci numere mari din realitate (populația globului, distanța Pământ–Soare în kilometri, numărul de secunde dintr-un an, bugetul unui oraș, numărul de fire de păr de pe un cap). Estimează $\lg$ al fiecăruia doar numărând cifrele, apoi verifică cu calculatorul. Cât de aproape ai fost?

3. Timpul de dublare al economiilor tale. Caută dobânda oferită de o bancă la un depozit și calculează, cu formula $t=\frac{\ln 2}{k}$, în câți ani s-ar dubla o sumă depusă acolo. Compară cu „regula lui 70" folosită de economiști ($t\approx 70/\text{procent}$) și explică de unde vine numărul 70. (Indicație: $\ln 2\approx 0,693$, iar $0,693\cdot 100\approx 69,3\approx 70$.)

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează cele două baze consacrate din programa de trunchi comun — logaritmul zecimal și logaritmul natural — și mai ales utilizarea corectă a calculatorului, competență explicit cerută de programă. Elevul trebuie să plece de aici cu trei lucruri: notațiile ($\lg$ pentru baza 10, $\ln$ pentru baza $e$), valorile fără calculator pentru puterile bazei și câteva valori de referință memorate ($\ln 2$, $\ln 10$, $\lg 2$, $\lg 5$).

Aplicațiile alese sunt cele două cel mai des întâlnite: numărul de cifre al unui număr (pentru $\lg$) și timpul de dublare sau de înjumătățire într-un proces continuu (pentru $\ln$). Formula de schimbare a bazei este dată explicit ca rețetă practică pentru calculator, cu mențiunea că demonstrația ei este materie de clasa a X-a; la fel, proprietățile operatorii și ecuațiile logaritmice nu fac obiectul clasei a IX-a.

Întrebări bune de control: „Cât face $\lg 1000$ și de ce?" (3, pentru că $10^3=1000$); „Ce înseamnă tasta ln?" (logaritm în baza $e$); „Câte cifre are un număr cu $\lg N\approx 4,8$?" (cinci); „De ce timpul de dublare nu depinde de suma inițială?" (se simplifică din ecuație). Semne că a înțeles: verifică rezultatul calculatorului printr-o încadrare mentală, scrie $\approx$ la valorile aproximative și nu confundă $\ln$ cu $\lg$ în aplicații.

La Bacalaureat, $\lg$ și $\ln$ apar în calcule directe la partea I a subiectului și, în clasele următoare, în ecuații, inecuații, limite și derivate. Deprinderea verificării prin încadrare — „rezultatul trebuie să fie între 3 și 4" — este cel mai bun antidot împotriva erorilor de tastare.

Întrebări frecvente

Ce este logaritmul natural? Este logaritmul în baza $e\approx 2,718$, notat $\ln x$. Răspunde la întrebarea „la ce putere trebuie ridicat $e$ ca să obțin $x$?". Se numește natural pentru că apare de la sine în toate procesele care se desfășoară continuu: creșteri de populații, dobândă capitalizată continuu, dezintegrare radioactivă.

Ce este logaritmul zecimal? Este logaritmul în baza 10, notat $\lg x$ (sau $\log x$ pe calculator). Valoarea lui arată câte ordine de mărime are numărul: $\lg 1000=3$ pentru că $1000=10^3$.

Care este diferența dintre ln și lg? Doar baza: $\ln$ folosește baza $e\approx 2,718$, iar $\lg$ folosește baza 10. Pentru orice $x>1$, $\ln x$ este mai mare decât $\lg x$, pentru că o bază mai mică cere un exponent mai mare. Ambele sunt strict crescătoare, se anulează în $x=1$ și au același semn peste tot.

Ce înseamnă tasta „log" de pe calculator? Pe calculatoarele științifice obișnuite înseamnă logaritm zecimal, adică $\lg$. Verifică rapid: log 100 trebuie să dea 2. Atenție însă, în limbaje de programare precum Python sau C, log înseamnă logaritm natural, iar cel zecimal se scrie log10.

Cât este ln 2 și de ce e important? $\ln 2\approx 0,693$. Este valoarea care apare în orice calcul de timp de dublare sau de înjumătățire într-un proces continuu: $t=\frac{\ln 2}{k}$. Din ea vine și „regula lui 70" folosită de economiști.

Poate ln x sau lg x să fie negativ? Da, atunci când argumentul este subunitar: $\ln 0,5\approx -0,693$, $\lg 0,01=-2$. Argumentul, în schimb, nu poate fi niciodată negativ sau zero — acolo funcția nu este definită.

Cum aflu câte cifre are un număr folosind logaritmul zecimal? Calculezi $\lg N$ și iei partea întreagă; numărul de cifre este partea întreagă plus unu. De exemplu, $\lg 2500\approx 3,398$, parte întreagă 3, deci 2500 are 4 cifre.

Cum calculez un logaritm într-o bază care nu e pe calculator? Folosești formula de schimbare a bazei: ${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}=\frac{\lg b}{\lg a}$. De exemplu, ${\log }_{2}10=\frac{2,303}{0,693}\approx 3,322$. Verifică apoi rezultatul prin încadrare între puterile vecine ale bazei.