În formula $$L = \displaystyle\int_a^b F(x)\,dx$$, litera $$F$$ înseamnă:

forța medie pe intervalul $$[a,b]$$

Într-o problemă cu arc, deformările sunt date în centimetri, iar constanta elastică în N/m. Ce trebuie făcut?

se transformă deformările în metri înainte de calcul

se integrează direct, unitățile nu contează

se transformă constanta în N/cm după calcul

se împarte rezultatul la $$100$$

Cum calculez lucrul mecanic al unei forțe?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Lucrul mecanic al unei forțe variabile

Când forța se schimbă de-a lungul drumului, se integrează: $L = \int_{a}^{b} F (x) d x$ , unde variabila măsoară poziția. Când forța rămâne aceeași pe tot drumul, iese chiar produsul ei cu distanța. Forța se măsoară în newtoni, iar rezultatul iese în jouli, cu unitățile aduse la același sistem înainte de calcul. La un arc, forța crește proporțional cu deformarea.

Lucrul mecanic al unei forțe variabile care acționează de-a lungul deplasării este $L = \int_{a}^{b} F (x) d x$ ; pentru $F$ constantă formula se reduce la produsul dintre forță și distanță. Aici $F$ este forța, măsurată în newtoni, nu o primitivă — litera este aceeași ca la unitatea de primitive, iar unitatea de măsură o deosebește: newtoni sub integrală, jouli după, cu $1$ J $=$ $1$ N $\cdot$ m. Cele patru etape ale modelării sunt: variabila și intervalul, funcția cu unitățile ei, integrala, apoi răspunsul cu unitate și control. Pentru un arc care respectă legea lui Hooke, $F (x) = k x$ , lucrul mecanic de la deformarea $x_{1}$ la $x_{2}$ este $\frac{k ( x _{2}^{2} - x _{1}^{2} )}{2}$ , nu $\frac{k ( x _{2} - x _{1} ) ^{2}}{2}$ : a doua formulă este valabilă numai pornind de la lungimea naturală. Unitățile se transformă în metri înainte de calcul — deformarea intrând la pătrat, centimetrii lăsați în integrală schimbă rezultatul de zeci de mii de ori. La problemele în care fiecare porțiune de material parcurge un drum diferit — pomparea unui lichid, ridicarea unui lanț — nu se aplică $\int F d x$ , ci se integrează greutatea feliei înmulțită cu drumul ei, după poziția feliei. Raportul $\frac{L}{b - a}$ este forța medie, efectiv atinsă undeva pe drum, prin teorema de medie.

De reținut

$L = \int_{a}^{b} F (x) d x$ , în jouli
arc: $L = \frac{k ( x _{2}^{2} - x _{1}^{2} )}{2}$
forța medie: $\frac{L}{b - a}$

Greșeala tipică

Se înmulțește forța cu distanța și atunci când forța se schimbă pe drum. Produsul acesta merge numai la o forță constantă; în rest se integrează, iar rezultatul iese diferit.

Exerciții din această mini-lecție

Un arc cu constanta elastică $k = 600$ N/m este întins de la deformarea $0, 1$ m la deformarea $0, 2$ m. Lucrul mecanic efectuat este:
- a) $3$ J
- b) $12$ J
- c) $4, 5$ J
- d) $9$ J
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $9$ J

Cu legea lui Hooke, $L = \int_{0, 1}^{0, 2} 600 x d x = 300 x^{2}_{0, 1}^{0, 2} = 300 (0, 04 - 0, 01) = 9$ J. Varianta $3$ J vine din formula $\frac{k ( x _{2} - x _{1} ) ^{2}}{2} = \frac{600 \cdot 0 , 01}{2}$ , valabilă numai dacă arcul pornește de la lungimea naturală — aici el este deja întins cu $0, 1$ m.
În formula $L = \int_{a}^{b} F (x) d x$ , litera $F$ înseamnă:
- a) o primitivă a funcției $f$
- b) lucrul mecanic
- c) forța, măsurată în newtoni
- d) forța medie pe intervalul $[a, b]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) forța, măsurată în newtoni

La unitatea de primitive $F$ nota primitiva lui $f$ ; aici $F$ este forța, adică tocmai funcția de integrat. Deosebirea se citește din unitatea de măsură: sub integrală newtoni, după integrală jouli. Lucrul mecanic este $L$ , iar forța medie este $\frac{L}{b - a}$ , un număr, nu o funcție.
Într-o problemă cu arc, deformările sunt date în centimetri, iar constanta elastică în N/m. Ce trebuie făcut?
- a) se integrează direct, unitățile nu contează
- b) se transformă deformările în metri înainte de calcul
- c) se transformă constanta în N/cm după calcul
- d) se împarte rezultatul la $100$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) se transformă deformările în metri înainte de calcul

Unitățile se aduc la același sistem înainte de integrare, altfel rezultatul nu este în jouli. La un arc, deformarea intră la pătrat, deci o confuzie centimetri–metri schimbă rezultatul de $10000$ de ori, nu de $100$ — de aceea varianta d) este și ea greșită.

Întrebări conexe

Ce arată aria de sub graficul forței?

Chiar lucrul mecanic. Pe orizontală stă drumul, pe verticală forța, iar o felie subțire aduce produsul dintre ele. La forță nemodificată regiunea este un dreptunghi, iar la un arc, unde forța crește proporțional cu deformarea, este un triunghi.

Ce unitate rezultă din integrala forței după deplasare?

Joule-ul, adică newton ori metru. Unitatea se citește direct din integrand: forța aduce newtonii, iar bucata de drum aduce metrii. Controlul unităților prinde repede o formulă strâmbă, înainte de a se face vreun calcul.

De ce nu merge formula cu diferența deformărilor ridicată la pătrat?

Pentru că integrala forței între două deformări dă diferența pătratelor, nu pătratul diferenței. A doua scriere este valabilă numai când se pornește de la lungimea naturală a arcului, adică atunci când prima deformare este zero.

Ce etape are modelarea unei probleme de lucru mecanic?

Patru: alegi variabila și intervalul, scrii funcția cu unitățile ei, calculezi integrala, apoi dai răspunsul cu unitate și cu un control de bun-simț. Sărirea peste prima etapă duce la integrarea după mărimea nepotrivită.

Cât este lucrul mecanic al unei forțe de 5 newtoni pe 3 metri?

Este $15$ jouli: forța nefiind variabilă, integrala dă chiar produsul ei cu drumul parcurs. Cazul acesta se folosește ca verificare: orice formulă scrisă pentru forțe variabile trebuie să dea același număr când forța nu se schimbă.

Oamenii mai întreabă și: lucrul mecanic al unei forțe variabile · lucrul mecanic cu integrala · lucrul mecanic la un arc · forța medie · legea lui Hooke și integrala