Afirmația „șirul $$(a_n)$$ nu este mărginit superior” înseamnă că:

pentru orice $$M\in\mathbb{R}$$ există un rang $$n$$ cu $$a_n>M$$

există un rang $$n$$ cu $$a_n>10^{6}$$

există $$M\in\mathbb{R}$$ astfel încât $$a_n>M$$ pentru orice $$n$$

Care dintre următoarele șiruri este mărginit?

$$a_n=(-1)^n\cdot\dfrac{3n}{n+2}$$

Când este mărginit un șir de numere?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Mărginirea unui șir

Când toți termenii lui rămân între două praguri fixe, adică există un număr $M > 0$ cu $∣ a_{n} ∣ \leq M$ pentru orice rang. Șirul $a_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$ are toți termenii între $0$ și $2$ , deci este mărginit. Pragul nu are voie să depindă de rang: o încadrare de tipul $a_{n} \leq n$ nu spune nimic. Un șir care depășește orice prag este nemărginit.

Șirul $(a_{n})$ este mărginit superior dacă există $M \in R$ cu $a_{n} \leq M$ pentru orice $n$ , mărginit inferior dacă există $m$ cu $m \leq a_{n}$ , și mărginit dacă le are pe amândouă: $m \leq a_{n} \leq M$ . Forma echivalentă, cu o singură constantă, este $∣ a_{n} ∣ \leq M$ pentru orice $n$ , cu $M > 0$ — adică toți termenii încap în banda $[- M, M]$ .

Ordinea cuantificatorilor este toată lecția: constanta se fixează înaintea rangului. Un „majorant” în care apare litera $n$ nu demonstrează nimic, pentru că afirmația „pentru orice $n$ există $M$ cu $a_{n} \leq M$ ” e adevărată la orice șir.

Trei metode: prelucrarea termenului general (la fracții, scoaterea părții întregi, ca în $\frac{2 n + 1}{n + 1} = 2 - \frac{1}{n + 1}$ ), majorarea grosieră (înlocuiești o expresie cu una mai mare, dar simplă, de pildă $\frac{n}{n ^{2} + 1} < \frac{1}{n} \leq 1$ ) și **inducția**, la șirurile date prin recurență. Nemărginirea superioară se arată negând definiția: pentru orice prag $M$ trebuie găsit un rang cu $a_{n} > M$ .

Monotonia scurtează munca: un șir crescător este minorat de $a_{1}$ , unul descrescător este majorat de $a_{1}$ . Atenție, mărginirea nu înseamnă tendință — șirul $(- 1)^{n}$ este mărginit și nu se stabilizează nicăieri.

De reținut

Mărginit $⟺ \exists M > 0$ cu $∣ a_{n} ∣ \leq M$ pentru orice $n$
$M$ NU are voie să depindă de $n$
Mărginirea nu cere monotonie și nu garantează existența limitei

Greșeala tipică

Se scrie o încadrare în care pragul conține rangul, de tipul $a_{n} < n + 2$ . O astfel de relație este adevărată la aproape orice șir, inclusiv la unele nemărginite, deci nu demonstrează nimic.

Exerciții din această mini-lecție

Șirul $a_{n} = \frac{3 n + 7}{n + 2}$ , $n \geq 1$ , verifică:
- a) $3 < a_{n} \leq \frac{10}{3}$
- b) $0 < a_{n} < 3$
- c) $3 \leq a_{n} \leq \frac{10}{3}$
- d) $\frac{10}{3} < a_{n} < 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3 < a_{n} \leq \frac{10}{3}$

Rescriem $a_{n} = \frac{3 ( n + 2 ) + 1}{n + 2} = 3 + \frac{1}{n + 2}$ . Din $n \geq 1$ rezultă $0 < \frac{1}{n + 2} \leq \frac{1}{3}$ , deci $3 < a_{n} \leq \frac{10}{3}$ . Marginea superioară $\frac{10}{3}$ este atinsă (la $n = 1$ ), iar marginea inferioară $3$ nu este atinsă niciodată — de aceea inegalitatea din stânga este strictă.
Afirmația „șirul $(a_{n})$ nu este mărginit superior” înseamnă că:
- a) șirul este strict crescător
- b) există un rang $n$ cu $a_{n} > 1 0^{6}$
- c) pentru orice $M \in R$ există un rang $n$ cu $a_{n} > M$
- d) există $M \in R$ astfel încât $a_{n} > M$ pentru orice $n$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) pentru orice $M \in R$ există un rang $n$ cu $a_{n} > M$

Negarea definiției schimbă cuantificatorii între ei: din „există $M$ astfel încât pentru orice $n$ …” se ajunge la „pentru orice $M$ există un $n$ …”. Varianta b) este prea slabă (un singur prag depășit nu spune nimic), iar d) este o afirmație despre minorare. Creșterea nu implică nemărginirea: $a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ crește și rămâne sub $1$ .
Care dintre următoarele șiruri este mărginit?
- a) $a_{n} = n - \frac{1}{n}$
- b) $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{3 n}{n + 2}$
- c) $a_{n} = n^{2} - 4 n$
- d) $a_{n} = 2^{n}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{3 n}{n + 2}$

Semnul alternant nu schimbă modulul: $∣ a_{n} ∣ = \frac{3 n}{n + 2} < \frac{3 n}{n} = 3$ , deci $- 3 < a_{n} < 3$ pentru orice $n$ . Celelalte trei sunt nemărginite superior: $n - \frac{1}{n} > n - 1$ , $n^{2} - 4 n = (n - 2)^{2} - 4$ și $2^{n} > n$ depășesc orice prag. Observă că șirul mărginit de aici nu este monoton — cele două proprietăți sunt independente.

Întrebări conexe

Este mărginit șirul cu termenul general 1 supra n?

Da: toți termenii stau în intervalul $(0, 1]$ , cel mai mare fiind primul. Marginea inferioară este $0$ și nu se atinge, dar mărginirea cere doar existența pragurilor, nu și atingerea lor.

Ce șiruri sunt mărginite fără să aibă limită?

Cele care oscilează între valori fixe, cum este șirul cu termenul general $(- 1)^{n}$ : toți termenii stau între $- 1$ și $1$ , dar valorile sar la nesfârșit între cele două, fără să se apropie de un număr.

Cum aleg constanta care mărginește un șir?

Majorezi termenul general pas cu pas, înlocuind fiecare parte cu ceva mai mare și mai simplu. Nu are importanță dacă pragul găsit este cel mai strâns posibil; contează doar să fie un număr fix.

Ce se întâmplă cu mărginirea dacă schimb primii termeni?

Nu se schimbă nimic: un număr finit de termeni se poate încadra oricând, mărind pragul cât e nevoie. De aceea mărginirea, ca și limita, este o proprietate care ține de coada șirului.

Cum arăt mărginirea unui șir cu radicali?

Majorezi expresia de sub radical cu una mai simplă, apoi extragi. Pentru $n^{2} + 1 - n$ , amplificarea cu conjugata dă $\frac{1}{n ^{2} + 1 + n}$ , care este cuprins între $0$ și $1$ .

Este mărginit șirul cu termenul general n la pătrat?

Nu, fiindcă depășește orice prag ales: pentru $M$ dat, orice rang mai mare decât $M$ dă un termen mai mare. Șirul este mărginit inferior de $1$ , dar nemărginit superior.

Oamenii mai întreabă și: șir mărginit · cum arăt că un șir este mărginit · modulul termenilor mai mic decât M · șir nemărginit exemplu