Fie $$X$$ tabloul „produse × materiale” și $$Y$$ tabloul „materiale × furnizori”. Care produs are sens și ce descrie el?

$$X \cdot Y$$, tabloul „produse × furnizori”

$$Y \cdot X$$, tabloul „produse × furnizori”

$$X \cdot Y$$, tabloul „materiale × materiale”

$$Y \cdot X$$, tabloul „furnizori × produse”

La ce folosesc matricele în viața reală?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Matrice care modelează situații practice

Orice tabel cu două intrări se scrie ca matrice: cantități pe magazine și zile, prețuri pe produse, legături directe între orașe. Adunarea cumulează două tabele de aceeași formă, iar produsul leagă două tabele printr-un indice comun și scoate totaluri. Un tablou $2 \times 3$ de cantități înmulțit cu unul $3 \times 1$ de prețuri dă încasarea fiecărui magazin. Scrierea aceasta apare în logistică, în economie și în studiul rețelelor.

Primul lucru pe care îl scrii nu este matricea, ci contractul de citire: ce înseamnă o linie și ce înseamnă o coloană. Pentru o brutărie cu două produse și trei materiale, $C = (421301)$ are liniile produsele și coloanele materialele, deci $c_{23} = 1$ înseamnă „un cozonac consumă $1$ kg de unt”. Fără contract, aceleași cifre pot însemna orice, iar cea mai frecventă greșeală de modelare nu este de calcul, ci de citire.

Fiecare operație are un înțeles propriu. Adunarea și scăderea cumulează valori din aceeași căsuță — stoc plus intrări minus vânzări — și cer același tip, adică aceleași etichete. Înmulțirea cu un scalar modelează o schimbare uniformă, care atinge toate elementele: o scumpire de $25%$ înseamnă $\frac{5}{4} L$ . Produsul matriceal combină două tablouri printr-o mărime comună.

Regula indicelui comun: $X \cdot Y$ are sens când coloanele lui $X$ înseamnă același lucru ca liniile lui $Y$ ; acea mărime este însumată și dispare, iar rezultatul are liniile lui $X$ și coloanele lui $Y$ . De aici se vede și de ce produsul nu comută: „produse × furnizori” și „furnizori × produse” sunt tabele diferite. Înmulțind la dreapta cu o coloană de $1$ obții totalurile pe linii, iar la stânga cu o linie de $1$ , totalurile pe coloane.

De reținut

Linia și coloana fixează cine cu cine se compară; poziția $(i, j)$ are un singur înțeles
Adunarea cumulează tabele de aceeași formă; produsul leagă un indice comun
Controlul unităților prinde așezarea greșită a datelor înainte de calcul

Greșeala tipică

Se înmulțesc două tablouri doar fiindcă au numere potrivite ca dimensiuni, fără ca indicele din mijloc să însemne același lucru. Produsul are sens numai când coloanele primului factor și liniile celui de-al doilea numără aceeași familie de obiecte.

Exerciții din această mini-lecție

O fabrică produce două modele de rucsac. Consumurile, în „modele × materiale”, sunt date de $C = (2135)$ , iar prețurile materialelor la doi furnizori, în „materiale × furnizori”, de $P = (4765)$ . Costul materialelor pentru un rucsac de modelul al doilea, la primul furnizor, este:
- a) $29$
- b) $27$
- c) $39$
- d) $31$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $39$

Costul cerut este elementul de pe linia $2$ , coloana $1$ al produsului $C \cdot P$ : folosim linia $2$ din $C$ , adică $(1, 5)$ , și coloana $1$ din $P$ , adică $(4, 7)$ , deci $1 \cdot 4 + 5 \cdot 7 = 39$ . Variantele $29$ , $27$ și $31$ sunt celelalte trei costuri din tabloul $C \cdot P$ — greșeala tipică este confundarea liniei cu coloana.
Fie $X$ tabloul „produse × materiale” și $Y$ tabloul „materiale × furnizori”. Care produs are sens și ce descrie el?
- a) $Y \cdot X$ , tabloul „produse × furnizori”
- b) $X \cdot Y$ , tabloul „materiale × materiale”
- c) $Y \cdot X$ , tabloul „furnizori × produse”
- d) $X \cdot Y$ , tabloul „produse × furnizori”
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $X \cdot Y$ , tabloul „produse × furnizori”

Coloanele lui $X$ (materialele) înseamnă același lucru ca liniile lui $Y$ , deci se poate forma $X \cdot Y$ . Mărimea comună este însumată și dispare, iar ce rămâne sunt liniile primului factor și coloanele celui de-al doilea: „produse × furnizori”. Produsul $Y \cdot X$ ar cere ca furnizorii să însemne același lucru cu produsele, ceea ce nu are sens.
Cursele directe dintre trei orașe sunt descrise de $F = 021302110$ , unde linia este orașul de plecare, iar coloana orașul de sosire. Numărul traseelor din orașul $1$ în orașul $3$ cu exact o escală este:
- a) $3$
- b) $1$
- c) $4$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3$

Alegem orașul de escală $k$ , înmulțim numărul curselor $1 \to k$ cu numărul curselor $k \to 3$ și adunăm peste toate escalele: $0 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 3$ . Este exact elementul de pe linia $1$ , coloana $3$ al produsului $F \cdot F$ . Varianta $1$ numără doar cursele directe, iar $4$ este numărul traseelor în sens invers, din orașul $3$ în orașul $1$ .

Întrebări conexe

Ce arată liniile și coloanele unei matrice de costuri?

Fiecare linie ține un obiect al primei familii, de pildă un depozit, iar fiecare coloană un obiect al celei de-a doua, de pildă un produs. Elementul din poziția $(i, j)$ este costul produsului $j$ la depozitul $i$ . Alegerea trebuie ținută minte, fiindcă transpunerea schimbă înțelesul rezultatului.

Cum aflu încasările totale dintr-un tabel de vânzări?

Pui cantitățile într-o matrice cu magazinele pe linii și produsele pe coloane, prețurile într-o coloană, apoi înmulțești. Dacă $50$ și $30$ de bucăți se vând cu $12$ și $20$ de lei, linia dă $50 \cdot 12 + 30 \cdot 20 = 1200$ lei pentru magazinul respectiv.

Ce este o matrice de adiacență a unui graf?

Este tabloul în care elementul din poziția $(i, j)$ arată câte legături directe duc de la nodul $i$ la nodul $j$ , de obicei $1$ sau $0$ . Pe ea se citesc imediat drumurile scurte, iar puterile ei numără traseele mai lungi.

Ce reprezintă o matrice de tranziție?

Ține procentele cu care o populație trece dintr-o stare în alta într-un pas: abonați care rămân, care pleacă, care revin. Fiecare linie adună $1$ , iar înmulțirea repetată arată cum se așază repartiția după mai multe etape.

Ce unități are rezultatul unui produs de matrice?

Se înmulțesc unitățile factorilor: bucăți înmulțite cu lei pe bucată dau lei. Controlul acesta prinde repede o așezare greșită a datelor, fiindcă un rezultat în „lei ori bucăți” arată că un tablou trebuia transpus înainte de calcul.

Ce se schimbă în model dacă transpun matricea datelor?

Rolurile liniilor și coloanelor se inversează, deci trebuie schimbată și ordinea factorilor în produs. Valorile numerice rămân aceleași, dar interpretarea rezultatului se mută de pe magazine pe produse, iar un calcul făcut fără această grijă dă un total fără sens.

Oamenii mai întreabă și: la ce folosesc matricele în practică · matrice pentru costuri și stocuri · probleme cu matrice din viața de zi cu zi · unde se aplică matricele în economie