Pentru ce valori reale ale lui $$m$$ matricea $$A(m) = \begin{pmatrix} m & 3 \\ 3 & m+8 \end{pmatrix}$$ nu este inversabilă?

$$m \in \mathbb{R} \setminus \{-9,\ 1\}$$

Matricea $$A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$ verifică $$A^{2} - 4A + 2I_2 = O_2$$. Care este $$A^{-1}$$?

$$A^{-1} = 2I_2 - \dfrac{1}{2}A$$

$$A^{-1} = \dfrac{1}{2}A - 2I_2$$

Cum știu dacă o matrice are inversă?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Matrice inversabilă: criteriul determinantului

O matrice pătratică are inversă exact când determinantul ei este diferit de zero; atunci se numește nesingulară. Verificarea se face într-un singur pas: calculezi $det A$ și te uiți dacă iese $0$ . Pentru $(2412)$ determinantul este $0$ , deci inversa nu există, oricât ai încerca. Matricele dreptunghiulare nu intră în discuție, fiindcă nu au determinant.

Definiție. $A \in M_{n} (C)$ este inversabilă dacă există $B$ cu $A \cdot B = B \cdot A = I_{n}$ ; atunci $B$ se numește inversa lui $A$ și se notează $A^{- 1}$ . Se cer ambele produse, pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă, și doar matricele pătratice pot fi inversabile.

Inversa, dacă există, este unică: dacă $B$ și $C$ ar fi amândouă inverse, atunci $B = B \cdot I_{n} = B \cdot (A \cdot C) = (B \cdot A) \cdot C = I_{n} \cdot C = C$ . Abia de aceea notația $A^{- 1}$ are sens.

Criteriul determinantului. $A$ este inversabilă dacă și numai dacă $det A \neq = 0$ . Implicația directă se demonstrează într-un rând: din $A \cdot A^{- 1} = I_{n}$ rezultă $det A \cdot det (A^{- 1}) = 1$ , deci niciunul dintre factori nu poate fi nul — și obții gratis $det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A}$ .

Vocabularul se fixează acum: matrice cu $det A \neq = 0$ se numește nesingulară, cu $det A = 0$ se numește singulară. La ordinul $2$ , dacă $a d - b c \neq = 0$ , inversa se obține schimbând între ele elementele de pe diagonala principală, schimbând semnul celorlalte două și împărțind la determinant.

Proprietăți: $(A^{- 1})^{- 1} = A$ ; $(A \cdot B)^{- 1} = B^{- 1} \cdot A^{- 1}$ , cu ordinea inversată; $(^{t} A)^{- 1} =^{t} (A^{- 1})$ .

Nu există „împărțire de matrice": spui „înmulțim cu inversa" și precizezi de care parte. Iar dacă primești o relație algebrică, scrii $A \cdot (\dots) = I_{n}$ și citești inversa din paranteză.

De reținut

$A$ inversabilă $⟺ det A \neq = 0$ ( $A$ pătratică)
$A A^{- 1} = A^{- 1} A = I_{n}$ ; inversa este singura cu această proprietate
$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ — ordinea se inversează

Greșeala tipică

Se caută inversa unei matrice cu determinantul nul, prin adjunctă, și se ajunge la o împărțire la zero. Verificarea determinantului se face înaintea oricărui calcul de complemenți algebrici.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru ce valori reale ale lui $m$ matricea $A (m) = (m 3 3 m + 8)$ nu este inversabilă?
- a) $m \in {- 1, 9}$
- b) $m \in R ∖ {- 9, 1}$
- c) $m \in {- 3, 3}$
- d) $m \in {- 9, 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $m \in {- 9, 1}$

$det A (m) = m (m + 8) - 9 = m^{2} + 8 m - 9 = (m + 9) (m - 1)$ , iar matricea nu este inversabilă exact când determinantul se anulează: $m = - 9$ sau $m = 1$ . Varianta b) este mulțimea valorilor pentru care matricea este inversabilă — confuzia cea mai frecventă la acest tip de cerință; citește de două ori dacă enunțul spune „este” sau „nu este”.
Fie $A, B \in M_{3} (R)$ cu $det A = - 4$ și $det B = 2$ . Cât este $det ((A \cdot B)^{- 1})$ ?
- a) $- 8$
- b) $- \frac{1}{8}$
- c) $\frac{1}{8}$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{1}{8}$

Întâi $det (A \cdot B) = det A \cdot det B = - 4 \cdot 2 = - 8 \neq = 0$ , deci produsul este inversabil. Apoi $det ((A \cdot B)^{- 1}) = \frac{1}{det ( A \cdot B )} = - \frac{1}{8}$ . Varianta a) oprește raționamentul la primul pas, uitând inversa.
Matricea $A \in M_{2} (R)$ verifică $A^{2} - 4 A + 2 I_{2} = O_{2}$ . Care este $A^{- 1}$ ?
- a) $A^{- 1} = 2 I_{2} - \frac{1}{2} A$
- b) $A^{- 1} = 4 I_{2} - A$
- c) $A^{- 1} = \frac{1}{2} A - 2 I_{2}$
- d) $A^{- 1} = A - 4 I_{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $A^{- 1} = 2 I_{2} - \frac{1}{2} A$

Izolăm $I_{2}$ : din $A^{2} - 4 A = - 2 I_{2}$ obținem $A \cdot (4 I_{2} - A) = 2 I_{2}$ , deci $A \cdot \frac{4 I _{2} - A}{2} = I_{2}$ . Cum $A$ comută cu $I_{2}$ și cu ea însăși, produsul în cealaltă ordine dă tot $I_{2}$ , prin urmare $A^{- 1} = 2 I_{2} - \frac{1}{2} A$ . Control pe $A = (3111)$ , care verifică relația: $A^{- 1} = \frac{1}{2} (1 - 1 - 1 3)$ , exact cât dă formula.

Întrebări conexe

Ce este matricea inversă, prin definiție?

Este matricea $B$ pentru care $A B = B A = I_{n}$ , notată $A^{- 1}$ . Condiția cere ambele produse, deși la matrice pătratice unul îl atrage pe celălalt. Ea joacă rolul pe care îl are inversul unui număr la înmulțire.

De ce matricea nulă nu are inversă?

Fiindcă orice produs cu ea dă tot matricea nulă, care nu poate fi $I_{n}$ . Determinantul ei este zero, deci criteriul o respinge oricum; este cazul extrem al matricelor singulare.

Ce inversă are A la puterea n?

Inversa puterii este puterea inversei: $(A^{n})^{- 1} = (A^{- 1})^{n}$ . Se verifică înmulțind cele două expresii și reducând factorii doi câte doi, dinspre mijloc spre exterior, până rămâne matricea unitate.

Ce inversă are o matrice diagonală?

Tot una diagonală, cu fiecare element înlocuit de inversul lui. Condiția de existență este ca niciun element al diagonalei să nu fie zero, ceea ce se potrivește exact cu anularea determinantului, care este produsul lor.

Ce mulțime formează matricele inversabile de ordin n?

Formează o structură închisă la înmulțire: produsul a două matrice inversabile este inversabil, iar inversa fiecăreia rămâne în mulțime. Adunarea, în schimb, poate scoate afară: suma a două matrice nesingulare poate avea determinantul zero.

Se poate ca A ori B să fie matricea unitate fără ca B ori A să fie?

La matrice pătratice de același ordin, nu. Din $A B = I_{n}$ iese $det A \cdot det B = 1$ , deci amândouă sunt nesingulare, iar înmulțind relația cu $A^{- 1}$ se obține și cealaltă egalitate.

Oamenii mai întreabă și: când este o matrice inversabilă · criteriul determinantului pentru inversă · matrice singulară și nesingulară · matrice care nu are inversă