Matricea rotației de unghi $$\theta$$ în jurul originii, în sens trigonometric, este:

$$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} \sin\theta & -\cos\theta \\ \cos\theta & \sin\theta \end{pmatrix}$$

Se consideră $$A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$. Scrisă sub forma $$A = \rho\,R(\theta)$$, ea are:

$$\rho = 2\sqrt2$$, $$\theta = \dfrac{\pi}{4}$$

$$\rho = 2$$, $$\theta = \dfrac{\pi}{4}$$

$$\rho = 4$$, $$\theta = \dfrac{\pi}{4}$$

$$\rho = 2\sqrt2$$, $$\theta = \dfrac{\pi}{2}$$

Cum se ridică la putere matricea de rotație?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Matricea de rotație și puterile ei

Produsul a două rotații este tot o rotație, cu unghiurile adunate, așa că puterea se citește direct: $R (θ)^{n} = R (n θ)$ , adică matricea cu $cos n θ$ pe diagonală și $\mp sin n θ$ în rest. Verificarea folosește formulele sumei pentru sinus și cosinus. Astfel, pentru $θ = \frac{π}{3}$ , exponentul $6$ dă un unghi de $2 π$ , deci $R (θ)^{6} = I_{2}$ , iar puterile se reiau din șase în șase.

Pe cercul trigonometric, punctul asociat lui $t$ are coordonatele $(cos t, sin t)$ . Rotația de unghi $θ$ în jurul originii duce punctul $(1, 0)$ în $(cos θ, sin θ)$ și punctul $(0, 1)$ în $(- sin θ, cos θ)$ , de unde noile coordonate ale unui punct oarecare: $x^{'} = x cos θ - y sin θ$ și $y^{'} = x sin θ + y cos θ$ . Scrise matriceal, ele dau matricea de rotație $R (θ) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)$ , cu minusul sus-dreapta.

Formulele pentru suma a două unghiuri dau legea de compunere $R (α) R (β) = R (α + β)$ , din care decurg două lucruri: matricele de rotație comută între ele — o excepție plăcută într-un capitol unde necomutativitatea e regula — și, prin inducție, $R (θ)^{n} = R (n θ)$ . Rezultatul nu se obține prin calcul, ci din înțelesul matricei: a roti de $n$ ori cu $θ$ înseamnă a roti cu $n θ$ . Cum $R (θ + 2 π) = R (θ)$ , pentru $θ = \frac{2 π}{p}$ puterile se repetă din $p$ în $p$ ; de pildă $R (\frac{2 π}{3})^{3} = R (2 π) = I_{2}$ . La exponenți mari împarți cu rest la $p$ și păstrezi restul.

Rareori primești chiar $R (θ)$ : de obicei primești $A = (a b - b a)$ . Atunci $ρ = a^{2} + b^{2}$ , $cos θ = \frac{a}{ρ}$ , $sin θ = \frac{b}{ρ}$ și $A^{n} = ρ^{n} R (n θ)$ — factorul $ρ^{n}$ nu se uită. Este formula lui Moivre, scrisă cu matrice.

De reținut

$R (θ) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)$ , $det R (θ) = 1$
$R (α) R (β) = R (α + β)$ , deci $R (θ)^{n} = R (n θ)$
$R (θ)^{- 1} = R (- θ) =^{t} R (θ)$

Greșeala tipică

Se ridică la putere fiecare element, scriind $cos^{n} θ$ pe diagonală. Corect este să se înmulțească unghiul cu exponentul, deci apare $cos n θ$ , care are cu totul altă valoare.

Exerciții din această mini-lecție

Matricea rotației de unghi $θ$ în jurul originii, în sens trigonometric, este:
- a) $(cos θ sin θ sin θ cos θ)$
- b) $(cos θ - sin θ sin θ cos θ)$
- c) $(sin θ cos θ - cos θ sin θ)$
- d) $(cos θ sin θ - sin θ cos θ)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(cos θ sin θ - sin θ cos θ)$

Semnul minus stă sus-dreapta. Verificarea rapidă se face pe $θ = \frac{π}{2}$ : matricea corectă devine $(01 - 1 0)$ și duce punctul $(1, 0)$ în $(0, 1)$ , adică rotește în sens trigonometric. Varianta b) este $R (- θ)$ , iar prima nu este matrice de rotație: determinantul ei iese $cos^{2} θ - sin^{2} θ$ , care nu face $1$ decât pentru unghiuri particulare.
Cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $R (\frac{2 π}{5})^{n} = I_{2}$ este:
- a) $5$
- b) $10$
- c) $2$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$

Din $R (θ)^{n} = R (n θ)$ , condiția devine $\frac{2 nπ}{5} = 2 k π$ , adică $n = 5 k$ cu $k$ întreg. Cel mai mic număr natural nenul este $n = 5$ . Geometric: cinci rotații de câte $7 2^{\circ}$ acoperă exact un tur complet.
Se consideră $A = (22 - 2 2)$ . Scrisă sub forma $A = ρ R (θ)$ , ea are:
- a) $ρ = 2$ , $θ = \frac{π}{4}$
- b) $ρ = 22$ , $θ = \frac{π}{4}$
- c) $ρ = 4$ , $θ = \frac{π}{4}$
- d) $ρ = 22$ , $θ = \frac{π}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $ρ = 22$ , $θ = \frac{π}{4}$

Matricea are forma $(a b - b a)$ cu $a = b = 2$ , deci $ρ = 4 + 4 = 22$ . Atunci $cos θ = sin θ = \frac{2}{2 2} = \frac{2}{2}$ , adică $θ = \frac{π}{4}$ . Varianta $ρ = 4$ apare când se uită radicalul, iar $ρ = 2$ când se ia doar $a$ .

Întrebări conexe

Ce efect geometric are înmulțirea cu o matrice de rotație?

Punctul din plan se rotește în jurul originii cu unghiul $θ$ , în sens trigonometric, fără să își schimbe distanța față de origine. De aceea transformarea păstrează lungimile și unghiurile, iar figura rotită rămâne congruentă cu cea de pornire.

Cât este determinantul unei matrice de rotație?

Este $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ , pentru orice unghi. Valoarea $1$ spune că transformarea nu schimbă ariile și nici nu răstoarnă orientarea planului, spre deosebire de o simetrie, la care determinantul iese $- 1$ .

Când redevine matricea de rotație egală cu matricea unitate?

Când unghiul total este un multiplu întreg de $2 π$ , adică după o rotire completă. Pentru $R (θ)^{n}$ condiția devine $n θ = 2 k π$ , iar de aici se află perioada șirului de puteri.

Ce inversă are o matrice de rotație?

Rotația de unghi opus, adică $R (θ)^{- 1} = R (- θ)$ , care coincide cu transpusa ei. Este limpede și geometric: ca să te întorci de unde ai plecat, rotești înapoi cu același unghi.

Cum aduc la forma unei rotații o matrice cu a și b în colțuri?

Scoți factorul $r = a^{2} + b^{2}$ în fața matricei; ce rămâne are pe poziții $\frac{a}{r}$ și $\frac{b}{r}$ , adică un cosinus și un sinus. Atunci $A^{n} = r^{n} R (n θ)$ , unde $θ$ se citește din valorile obținute.

Ce unghi obțin dacă aplic două rotații una după alta?

Suma celor două unghiuri, fiindcă $R (α) R (β) = R (α + β)$ . Aici ordinea chiar nu contează, ceea ce face din rotațiile plane una dintre puținele familii de matrice permutabile între ele.

Oamenii mai întreabă și: puterile matricei de rotație · R de teta la puterea n · matrice cu cosinus și sinus ridicată la putere · rotație de unghi n ori teta