Cum calculez media unui tabel de frecvențe?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Media: punctul de echilibru al datelor

Înmulțești fiecare valoare cu frecvența ei, aduni produsele și împarți la numărul total de date: $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{n}$ . Pentru notele $7$ , $8$ și $9$ cu frecvențele $4$ , $3$ și $3$ , obții $\frac{28 + 24 + 27}{10} = 7, 9$ . Este de fapt o medie ponderată, în care ponderile sunt frecvențele. La date grupate pe intervale se folosesc centrele lor, iar rezultatul iese aproximativ, nu exact.

Media aritmetică a unui set $x_{1}, \dots, x_{n}$ este $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum x_{i}$ — punctul de echilibru al datelor, situat mereu între valoarea minimă și cea maximă. Dintr-un tabel de frecvențe, formula devine $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{n}$ , iar pentru date grupate pe clase se folosesc centrele claselor, $\overset{x}{ˉ} \approx \frac{\sum n _{i} c _{i}}{n}$ — rezultat aproximativ, pentru că valorile reale nu sunt niciodată distribuite perfect simetric în interiorul fiecărei clase.

Media ponderată apare atunci când valorile nu contează la fel: fiecărei $x_{i}$ i se atribuie o pondere (coeficient) $p_{i}$ , iar $\overset{x}{ˉ}_{p} = \frac{\sum p _{i} x _{i}}{\sum p _{i}}$ — exact formula folosită la media generală de la Bacalaureat sau la media pe semestru, unde teza cântărește mai mult decât o ascultare. Media dintr-un tabel de frecvențe este, de fapt, o medie ponderată cu frecvențele.

O proprietate utilă pentru verificare: suma abaterilor față de medie este zero, $\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = 0$ . Atenție și la o capcană frecventă: media a două grupuri de efective diferite nu este media celor două medii, ci media ponderată cu efectivele lor. În fine, media este sensibilă la valori extreme — câteva salarii foarte mari pot ridica «media» mult peste ce câștigă majoritatea — motiv pentru care, în astfel de situații, se raportează și mediana.

De reținut

$\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{n}$
medie ponderată: $\frac{\sum p _{i} x _{i}}{\sum p _{i}}$
$\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = 0$

Greșeala tipică

Media a două grupuri inegale este luată drept media celor două medii. Corect, aduni totalurile de puncte și împarți la numărul tuturor elevilor: pentru $12$ elevi cu media $8$ și $18$ cu media $7$ iese $7, 4$ , nu $7, 5$ .

Exerciții din această mini-lecție

Calculați media setului de date $6, 9, 11, 14, 15$ .
- a) $11$
- b) $10$
- c) $12$
- d) $55$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $11$

Suma valorilor este $6 + 9 + 11 + 14 + 15 = 55$ , iar $n = 5$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{55}{5} = 11$ .
Un elev are notele $7$ și $9$ , fiecare cu ponderea $1$ , și nota $10$ la teză, cu ponderea $3$ . Calculați media ponderată.
- a) $8, 67$
- b) $9, 2$
- c) $9$
- d) $8, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $9, 2$

$\overset{x}{ˉ}_{p} = \frac{1 \cdot 7 + 1 \cdot 9 + 3 \cdot 10}{1 + 1 + 3} = \frac{46}{5} = 9, 2$ . Media simplă a celor trei note ar fi fost $\frac{26}{3} \approx 8, 67$ — diferită, pentru că teza cântărește de trei ori mai mult.
Media a $8$ numere este $12$ . Dacă la fiecare număr se adună $3$ , care este noua medie?
- a) $12$
- b) $36$
- c) $15$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $15$

Dacă la fiecare valoare se adaugă o constantă $a$ , suma crește cu $8 a$ , deci media crește cu $a$ . Aici $a = 3$ , deci noua medie este $12 + 3 = 15$ .

Întrebări conexe

Ce este o pondere la media ponderată?

Este numărul care arată cât cântărește fiecare valoare în rezultat. La media dintr-un tabel de frecvențe, ponderea unei valori este chiar frecvența ei; la media semestrială, ponderea tezei este mai mare decât a unei ascultări, tocmai fiindcă teza contează mai mult.

Cum se calculează media generală de la Bacalaureat?

Se adună notele obținute la probele scrise și se împarte suma la numărul lor, deci este o medie aritmetică simplă a acelor note. Când probele ar avea coeficienți diferiți, fiecare notă s-ar înmulți cu coeficientul ei, iar suma s-ar împărți la totalul coeficienților.

La ce număr împart când calculez media dintr-un tabel?

La numărul total de date, adică la suma frecvențelor, nu la câte rânduri are tabelul. Dacă șase note diferite au fost luate de douăzeci de elevi, împărțirea se face la douăzeci; împărțirea la șase ar da un rezultat fără nicio legătură cu clasa.

Poate media să fie mai mare decât valoarea maximă din set?

Nu. Media se află întotdeauna între cea mai mică și cea mai mare valoare, fiindcă este un punct de echilibru al datelor. Un rezultat în afara acestui interval arată sigur o greșeală de calcul, cel mai des la numitor.

Ce indicator se raportează alături de medie la salarii?

Mediana, fiindcă media este trasă în sus de câteva valori foarte mari și nu mai descrie situația celor mai mulți. Din același motiv presa vorbește despre salariul median, care rămâne pe poziția din mijloc, oricât de mari ar fi valorile extreme.

Ce înseamnă că media este punctul de echilibru al datelor?

Înseamnă că abaterile față de ea se compensează: suma diferențelor $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ este zero. Dacă ai așeza datele pe o riglă, cu greutăți egale în fiecare valoare, rigla ar sta orizontal exact atunci când e sprijinită în medie.

Oamenii mai întreabă și: media unui tabel de frecvențe · media aritmetică ponderată · cum se calculează media ponderată · media datelor statistice