De ce transformarea $$L_i \leftarrow L_i + \alpha L_j$$ se aplică numai cu $$i \ne j$$?

pentru că, la $$i = j$$ și $$\alpha = -1$$, ecuația ar deveni $$0 = 0$$, iar sistemul nu ar mai fi echivalent

pentru că altfel s-ar schimba ordinea ecuațiilor

pentru că altfel determinantul și-ar schimba semnul

pentru că pivotul nu ar mai fi primul element nenul al liniei

Cum rezolv un sistem prin metoda lui Gauss?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Metoda lui Gauss

Scrii matricea extinsă și faci zerouri sub primul element nenul, adunând la fiecare linie un multiplu potrivit al liniei de deasupra. Repeți pe coloana următoare, până când tabloul are formă de scară. Apoi rezolvi de jos în sus: ultima ecuație dă o necunoscută, care se înlocuiește în cea de deasupra. Transformările folosite nu schimbă soluțiile, deci sistemul final este echivalent cu cel de pornire.

Metoda lui Gauss rezolvă orice sistem liniar într-o singură trecere, fără niciun determinant, și spune pe drum dacă sistemul e incompatibil, determinat sau nedeterminat.

Temelia ei este noțiunea de sisteme echivalente — sisteme cu exact aceeași mulțime de soluții — și teorema că cele trei transformări elementare pe linii dau sisteme echivalente: $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ ; $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ cu $α \neq = 0$ ; $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ cu $i \neq = j$ . Ambele condiții sunt esențiale: pentru $α = 0$ , sau pentru $i = j$ cu $α = - 1$ , ecuația ar deveni $0 = 0$ și sistemul nu ar mai fi echivalent.

Se lucrează pe matricea extinsă $\overline{A}$ , fără nicio bară despărțitoare, dar citind ultima coloană ca fiind „de cealaltă parte a egalului". Coborârea aduce $\overline{A}$ la formă eșalonată: liniile nule la sfârșit, fiecare pivot strict la dreapta celui de deasupra.

Citirea: o linie de forma $00 \dots 0 c$ cu $c \neq = 0$ înseamnă $0 = c$ , deci sistem incompatibil; altfel, dacă pivoții din zona coeficienților sunt $n$ la număr, sistemul e determinat, iar dacă sunt $r < n$ , e nedeterminat, cu $n - r$ necunoscute secundare. Urmează substituția inversă, de jos în sus, iar verificarea se face în sistemul inițial.

De reținut

Transformările pe linii dau un sistem echivalent
Formă de scară, apoi substituție inversă, de jos în sus
Linie de zerouri cu termen liber nenul $\Rightarrow$ incompatibil

Greșeala tipică

Se adună linii înmulțite fără să se noteze operația, iar la o eroare nu se mai poate reface drumul. Fiecare pas se scrie explicit, de tipul $L_{2} \to L_{2} - 3 L_{1}$ , ca verificarea să fie posibilă.

Exerciții din această mini-lecție

În forma eșalonată a matricei extinse a unui sistem apare linia $(0005)$ . Sistemul este:
- a) compatibil determinat
- b) compatibil nedeterminat
- c) incompatibil
- d) omogen
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) incompatibil

Linia corespunde ecuației $0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 5$ , adică $0 = 5$ — o egalitate falsă, pe care niciun triplet nu o poate verifica. Sistemul echivalent nu are soluții, deci nici cel inițial. Atenție la deosebire: o linie complet nulă înseamnă $0 = 0$ , adevărată mereu, și arată doar că o ecuație era consecința celorlalte.
Forma eșalonată a matricei extinse a unui sistem cu $3$ necunoscute este $100210 - 1 30 450$ . Sistemul este:
- a) compatibil simplu nedeterminat
- b) compatibil determinat
- c) incompatibil
- d) compatibil dublu nedeterminat
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) compatibil simplu nedeterminat

Nu apare nicio linie de forma $000 c$ cu $c \neq = 0$ , deci sistemul e compatibil. Pivoții din zona coeficienților sunt doi, ambii în primele trei coloane, deci $rang A = rang \overline{A} = 2 < 3 = n$ : sistem nedeterminat, cu $n - r = 1$ necunoscută secundară, adică simplu nedeterminat.
De ce transformarea $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ se aplică numai cu $i \neq = j$ ?
- a) pentru că altfel s-ar schimba ordinea ecuațiilor
- b) pentru că altfel determinantul și-ar schimba semnul
- c) pentru că pivotul nu ar mai fi primul element nenul al liniei
- d) pentru că, la $i = j$ și $α = - 1$ , ecuația ar deveni $0 = 0$ , iar sistemul nu ar mai fi echivalent
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) pentru că, la $i = j$ și $α = - 1$ , ecuația ar deveni $0 = 0$ , iar sistemul nu ar mai fi echivalent

Pentru $i = j$ , „transformarea" ar fi $L_{i} \leftarrow (1 + α) L_{i}$ , adică de al doilea tip, iar pentru $α = - 1$ factorul devine $0$ — ecuația se pierde, sistemul nou are, în general, mai multe soluții și transformarea nu mai e reversibilă. Aceeași este și rațiunea condiției $α \neq = 0$ la $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă substituție inversă?

Mersul înapoi prin sistemul adus la formă de scară: pornești de la ultima ecuație, care are o singură necunoscută, și urci înlocuind valorile găsite. Fiecare pas cere o singură împărțire, deci partea aceasta este scurtă.

Cum arată sistemul după eșalonare?

Fiecare ecuație începe mai la dreapta decât cea de deasupra, adică are mai multe necunoscute lipsă. Ultima conține, în situația cea mai comodă, o singură necunoscută, iar de acolo pornește drumul înapoi.

Cum recunosc un sistem nedeterminat din forma eșalonată?

Când numărul de ecuații rămase, fără liniile nule, este mai mic decât numărul necunoscutelor. Necunoscutele care nu poartă niciun pivot devin secundare și primesc valori arbitrare.

De ce se lucrează pe matricea extinsă și nu pe ecuații?

Fiindcă necunoscutele nu aduc nimic la calcul, doar coeficienții contează. Scrierea în tablou face operațiile mai rapide și taie greșelile de copiere, iar soluțiile se citesc la sfârșit, la loc, pe coloane.

Cât de mult scurtează metoda calculul față de determinanți?

La un sistem cu patru necunoscute, regula lui Cramer cere cinci determinanți de ordinul $4$ , în timp ce eliminarea are nevoie de câteva zeci de operații elementare. Diferența crește repede cu numărul necunoscutelor.

Ce fac dacă apare o linie numai de zerouri?

O muți la baza tabloului și continui cu celelalte. Ea arată că o ecuație era consecința celorlalte; dacă însă în dreapta ei rămâne un număr nenul, sistemul este incompatibil și calculul se oprește acolo.

Oamenii mai întreabă și: metoda lui Gauss · eliminare gaussiană la sisteme · cum rezolv un sistem prin eliminare · sistem rezolvat cu matricea extinsă