Lanțul de metode pentru $$\displaystyle\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx$$, pe $$\mathbb{R}$$, este:

substituția $$t = x^{2}$$, apoi integrarea prin părți

fracții simple, apoi substituție

integrarea prin părți, apoi fracții simple

Prin substituția $$t = e^{x}$$, integrala $$\displaystyle\int \dfrac{e^{2x}}{e^{x}+1}\,dx$$ devine:

$$\displaystyle\int \dfrac{t}{t+1}\,dt$$

$$\displaystyle\int \dfrac{t^{2}}{t+1}\,dt$$

$$\displaystyle\int \dfrac{dt}{t+1}$$

$$\displaystyle\int \dfrac{t^{2}}{t(t+1)^{2}}\,dt$$

Pentru $$\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+\sqrt{x}}$$, pe $$(0, +\infty)$$, substituția potrivită este:

niciuna, se aplică direct părțile

Când cere o integrală două metode?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Metode de integrare combinate

Atunci când, după prima metodă, integrala rămasă tot nu se află în tabel. Semnalul nu înseamnă că prima alegere a fost greșită, ci că lanțul continuă. Lanțurile obișnuite sunt substituție urmată de părți, substituție urmată de fracții simple și prelucrare algebrică urmată de o metodă. Lanțul se închide mereu pe un rând din tabelul primitivelor, iar la sfârșit se scriu intervalul și constanta.

Multe primitive nu se închid dintr-o singură mișcare: se scrie întâi lanțul de metode, cu săgeți, iar ultima verigă este mereu un rând din tabelul primitivelor. Semnalul că mai urmează o verigă este simplu — după prima metodă, integrala rămasă nu se află în tabel. Asta nu înseamnă că prima metodă a fost greșită; înseamnă că lanțul continuă.

Lanțurile tipice sunt trei. Substituție, apoi părți: la $\int x^{3} e^{x^{2}} d x$ , notarea $t = x^{2}$ lasă $\frac{1}{2} \int t e^{t} d t$ , care cere părțile. Substituție, apoi fracții simple: substituțiile $t = e^{x}$ , $t = x$ , $t = ln x$ transformă familii întregi de funcții în funcții raționale. Prelucrare algebrică, apoi o metodă: amplificarea cu conjugata, împărțirea sau descompunerea nu sunt metode de integrare, ci pregătirea dinaintea primei verigi.

Ordinea verigilor contează. Fracțiile simple nu se aplică înainte de împărțire, iar la o integrală nedefinită revenirea la variabila $x$ este obligatorie: substituția este doar o notație de lucru, iar un rezultat lăsat în $t$ nu răspunde la întrebarea pusă.

La final se scriu intervalul și $+ C$ , iar modulul din logaritm se păstrează sau se scoate cu justificare: după $t = e^{x}$ avem $t > 0$ , deci $ln (t + 1)$ se scrie fără modul.

De reținut

lanț: substituție $\to$ părți
lanț: substituție $\to$ fracții simple
prelucrarea algebrică nu e metodă de integrare

Greșeala tipică

Se lasă rezultatul în variabila de lucru. La o integrală nedefinită substituția este doar o notație, iar răspunsul se scrie în litera din enunț, altfel cerința rămâne fără răspuns.

Exerciții din această mini-lecție

Lanțul de metode pentru $\int x^{3} e^{x^{2}} d x$ , pe $R$ , este:
- a) fracții simple, apoi substituție
- b) integrarea prin părți, apoi fracții simple
- c) un singur rând din tabel
- d) substituția $t = x^{2}$ , apoi integrarea prin părți
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) substituția $t = x^{2}$ , apoi integrarea prin părți

Scriem $x^{3} e^{x^{2}} = x^{2} \cdot e^{x^{2}} \cdot x$ și notăm $t = x^{2}$ , $d t = 2 x d x$ : integrala devine $\frac{1}{2} \int t e^{t} d t$ , care nu este în tabel și cere părțile, cu $\frac{1}{2} e^{t} (t - 1)$ . Revenind la $x$ , obținem $\frac{e ^{x^{2}} ( x ^{2} - 1 )}{2} + C$ .
Prin substituția $t = e^{x}$ , integrala $\int \frac{e ^{2 x}}{e ^{x} + 1} d x$ devine:
- a) $\int \frac{t ^{2}}{t + 1} d t$
- b) $\int \frac{t}{t + 1} d t$
- c) $\int \frac{d t}{t + 1}$
- d) $\int \frac{t ^{2}}{t ( t + 1 ) ^{2}} d t$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\int \frac{t}{t + 1} d t$

Din $t = e^{x}$ rezultă $d t = e^{x} d x$ , deci $d x = \frac{d t}{t}$ , iar $e^{2 x} = t^{2}$ . Integrandul devine $\frac{t ^{2}}{t + 1} \cdot \frac{d t}{t} = \frac{t}{t + 1} d t$ . Varianta a) uită tocmai înlocuirea lui $d x$ , greșeala cea mai frecventă la această substituție.
Pentru $\int \frac{d x}{1 + x}$ , pe $(0, + \infty)$ , substituția potrivită este:
- a) $t = x^{2}$
- b) $t = 1 + x$
- c) $t = x$
- d) niciuna, se aplică direct părțile
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $t = x$

Cu $t = x$ avem $x = t^{2}$ și $d x = 2 t d t$ , deci integrala devine $\int \frac{2 t}{1 + t} d t$ — o funcție rațională, care se rezolvă prin împărțire. Substituția $t = 1 + x$ lasă radicalul pe loc, iar părțile nu au ce factori să separe.

Întrebări conexe

Ce fac dacă a doua metodă mă întoarce la integrala de la început?

Nu ai greșit: notezi integrala cu o literă, o muți în membrul stâng și o afli ca dintr-o ecuație. Drumul acesta apare la integralele în care aplicarea repetată a părților reface expresia inițială, înmulțită cu un număr diferit de unu.

Ce fac cu limitele de integrare la o substituție?

Le schimbi odată cu variabila: pui capetele vechi în formula substituției și obții capetele noi. Atunci nu mai revii la litera din enunț, fiindcă rezultatul este un număr. La $t = x$ , intervalul $[0, 4]$ devine $[0, 2]$ .

De ce nu se aplică fracțiile simple înaintea împărțirii?

Fiindcă descompunerea are sens numai pentru o fracție al cărei numărător are gradul strict mai mic decât numitorul. Aplicată prea devreme, ea duce la un sistem de coeficienți fără soluție. Ordinea verigilor dintr-un lanț nu este la alegere, ci fixată de condițiile fiecărei metode.

Când se scoate modulul din logaritm după o substituție?

Numai împreună cu o propoziție care spune de ce argumentul rămâne pozitiv. După $t = e^{x}$ avem $t > 0$ , deci $ln (t + 1)$ se scrie fără bare. Fără această justificare barele se păstrează, iar scoaterea lor tăcută pierde puncte în barem.

Ce înseamnă că ultima verigă a lanțului e un rând din tabel?

Că lanțul se oprește abia când integrala rămasă se recunoaște direct în tabelul primitivelor. Dacă după a doua metodă tot nu ai ajuns acolo, mai urmează o verigă. Scrierea lanțului cu săgeți, înaintea calculului, arată dinainte câți pași sunt de făcut.

Oamenii mai întreabă și: lanț de metode la integrale · integrale cu două metode · substituție apoi părți · ordinea metodelor de integrare · integrale combinate