Câte metode de ridicare la putere se numără la clasa a 11-a și care sunt?

cinci: cele patru elementare — inducția, binomul lui Newton, șirurile recurente, matricea de rotație — plus ecuația Hamilton-Cayley; calculul direct nu se numără printre metode

trei: inducția, binomul lui Newton și ecuația Hamilton-Cayley

patru: calculul direct, inducția, binomul lui Newton și șirurile recurente

șase: cele cinci de mai sus, la care se adaugă calculul direct

Care este $$A^{n}$$ pentru $$A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$$, $$n \in \mathbb{N}^{*}$$?

$$\begin{pmatrix} 5^{n} & 2n \cdot 5^{n-1} \\ 0 & 5^{n} \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 5^{n} & 2 \\ 0 & 5^{n} \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 5^{n} & 2n \\ 0 & 5^{n} \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 5^{n} & 2 \cdot 5^{n-1} \\ 0 & 5^{n} \end{pmatrix}$$

Care este condiția fără de care binomul lui Newton nu se poate aplica la matrice?

cele două matrice trebuie să comute, adică $$XY = YX$$

cele două matrice trebuie să fie inversabile

cele două matrice trebuie să aibă același determinant

nu există nicio condiție: binomul se aplică oricăror două matrice

Cum calculez puterea a n-a a unei matrice?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Cum alegi metoda de ridicare la putere

Nu există un singur drum: se alege după forma matricei. Dacă $A^{2}$ se scrie ca multiplu al lui $A$ sau se anulează, formula iese pe loc; dacă diagonala este constantă, merge binomul lui Newton; dacă apar cosinus și sinus, se folosește rotația; la ordinul $2$ ajută Hamilton-Cayley, iar în rest se ghicește tiparul din $A^{2}$ , $A^{3}$ și se demonstrează prin inducție.

Lecția nu adaugă nicio metodă nouă; adaugă criteriul de alegere. Numărătoarea este fixă: cele patru metode elementare sunt inducția matematică, binomul lui Newton, șirurile recurente și matricea de rotație, iar ecuația Hamilton-Cayley este a cincea metodă. Calculul direct al lui $A^{2}$ nu se numără printre metode — este procedeul de bază, reflexul care le precedă pe toate.

Pasul zero: calculează $A^{2}$ și privește. Patru situații se rezolvă pe loc: $A^{2} = O_{n}$ dă $A^{n} = O_{n}$ pentru $n \geq 2$ ; $A^{2} = I_{n}$ dă puteri care alternează; $A^{2} = α A$ dă $A^{n} = α^{n - 1} A$ ; $A^{2} = α I_{n}$ dă puteri pare multipli de $I_{n}$ și impare multipli de $A$ .

Semnalele metodelor. Inducția: din primele puteri se vede un tipar pe care îl poți scrie cu $n$ — dar el trebuie și demonstrat. Binomul lui Newton: matricea se scrie $A = α I_{n} + N$ , cu $N$ nilpotentă; formula se aplică numai pentru că cele două comută ( $I_{n}$ comută cu orice), iar suma se oprește după două-trei termene. Șirurile recurente: puterile păstrează forma, dar numerele se schimbă. Matricea de rotație: forma $(a b - b a)$ , adică $A = r R (θ)$ cu $r = a^{2} + b^{2}$ , de unde $A^{n} = r^{n} R (n θ)$ ; o matrice cu același semn în afara diagonalei nu este o rotație. Hamilton-Cayley: metoda universală a ordinului $2$ , când nimic altceva nu se potrivește — dar numai la ordinul $2$ .

Adesea Hamilton-Cayley este poarta către metoda scurtă: din ea poate ieși o nilpotență ascunsă, $(A - α I_{2})^{2} = O_{2}$ , iar de acolo binomul rezolvă totul în trei rânduri.

De reținut

$A^{2} = α A \Rightarrow A^{n} = α^{n - 1} A$ ; $A^{2} = A \Rightarrow A^{n} = A$ ; $A^{2} = O \Rightarrow A^{n} = O$
Diagonală constantă: $A = α I_{p} + N$ și binomul lui Newton
Puteri periodice: se lucrează cu restul împărțirii exponentului

Greșeala tipică

Se pornește direct cu inducția, fără să se calculeze întâi $A^{2}$ . Pătratul arată în cele mai multe cazuri ce metodă se potrivește, iar uneori chiar încheie exercițiul, dacă iese matricea nulă sau un multiplu al lui $A$ .

Exerciții din această mini-lecție

Câte metode de ridicare la putere se numără la clasa a 11-a și care sunt?
- a) trei: inducția, binomul lui Newton și ecuația Hamilton-Cayley
- b) patru: calculul direct, inducția, binomul lui Newton și șirurile recurente
- c) cinci: cele patru elementare — inducția, binomul lui Newton, șirurile recurente, matricea de rotație — plus ecuația Hamilton-Cayley; calculul direct nu se numără printre metode
- d) șase: cele cinci de mai sus, la care se adaugă calculul direct
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) cinci: cele patru elementare — inducția, binomul lui Newton, șirurile recurente, matricea de rotație — plus ecuația Hamilton-Cayley; calculul direct nu se numără printre metode

Numărătoarea este fixată de lecțiile despre puterile unei matrice: patru metode elementare, iar ecuația Hamilton-Cayley este a cincea. Calculul direct al lui $A^{2}$ este procedeul de bază, pasul zero de la care pornesc toate — de aceea nu figurează în listă.
Care este $A^{n}$ pentru $A = (5025)$ , $n \in N^{*}$ ?
- a) $(5^{n} 0 2 5^{n})$
- b) $(5^{n} 0 2 n 5^{n})$
- c) $(5^{n} 0 2 \cdot 5^{n - 1} 5^{n})$
- d) $(5^{n} 0 2 n \cdot 5^{n - 1} 5^{n})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(5^{n} 0 2 n \cdot 5^{n - 1} 5^{n})$

Semnalul este limpede: $A = 5 I_{2} + N$ , cu $N = (0020)$ și $N^{2} = O_{2}$ , deci se aplică binomul lui Newton (cele două comută, pentru că $I_{2}$ comută cu orice). Dezvoltarea se oprește după al doilea termen: $A^{n} = 5^{n} I_{2} + C_{n}^{1} \cdot 5^{n - 1} N$ . Control pentru $n = 2$ : formula dă $(2502025)$ , exact cât dă înmulțirea directă.
Care este condiția fără de care binomul lui Newton nu se poate aplica la matrice?
- a) cele două matrice trebuie să comute, adică $X Y = Y X$
- b) cele două matrice trebuie să fie inversabile
- c) cele două matrice trebuie să aibă același determinant
- d) nu există nicio condiție: binomul se aplică oricăror două matrice
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) cele două matrice trebuie să comute, adică $X Y = Y X$

Pentru două matrice oarecare, $(X + Y)^{2} = X^{2} + X Y + Y X + Y^{2}$ , iar cei doi termeni din mijloc nu se pot aduna în $2 X Y$ dacă produsele diferă. În scrierea $A = α I_{n} + N$ condiția e îndeplinită automat, pentru că $I_{n}$ comută cu orice matrice — motiv pentru care metoda funcționează exact în acest tipar.

Întrebări conexe

Ce metodă folosesc dacă matricea are pătratul egal cu ea însăși?

Niciuna complicată: din $A^{2} = A$ iese, prin înmulțiri repetate, $A^{n} = A$ pentru orice exponent nenul. Astfel de matrice se numesc idempotente și se recunosc după un singur produs, calculat direct.

Ce metodă folosesc pentru o matrice cu pătratul nul?

Tot niciuna: dacă $A^{2} = O$ , atunci toate puterile de la a doua în sus se anulează. Rămâne doar cazul $n = 1$ , iar matricele acestea, numite nilpotente, apar și ca parte din descompunerea folosită la binomul lui Newton.

Cum recunosc o relație de forma A la pătrat egal alfa ori A?

Calculezi pătratul și compari tabloul obținut cu cel de pornire: dacă toate elementele s-au înmulțit cu același număr, ai găsit acel $α$ . Atunci $A^{n} = α^{n - 1} A$ , formulă care se demonstrează în doi pași prin inducție.

Ce fac dacă puterile matricei se repetă din patru în patru?

Împarți exponentul la $4$ și te uiți la rest: puterea cerută coincide cu cea de rang egal cu restul. Pentru $A^{2026}$ , restul este $2$ , deci răspunsul este $A^{2}$ , calculat printr-o singură înmulțire.

Cum aleg între inducție și Hamilton-Cayley?

Hamilton-Cayley merge doar la ordinul $2$ , dar dă rezultatul fără să ghicești nimic. Inducția funcționează la orice ordin, cu condiția să vezi tiparul; când tiparul nu se lasă citit, relația dintre urmă și determinant rămâne calea sigură.

Ce se întâmplă cu puterile unei matrice diagonale?

Fiecare element de pe diagonală se ridică separat la puterea cerută, iar restul rămân zero. Astfel puterea unei matrice diagonale se scrie dintr-o singură mișcare, fără inducție și fără alte formule. Este cel mai simplu caz dintre toate.

Oamenii mai întreabă și: cum calculez A la puterea n · metode pentru puterile unei matrice · ce metodă aleg pentru puterea unei matrice · A la n matrice de ordin 2