O mașină cumpărată cu $$18\,000$$ de euro pierde $$20\%$$ din valoare în fiecare an. Care afirmație este adevărată?

$$V_n=18\,000\cdot0{,}8^{\,n}$$ și $$\lim\limits_{n\to\infty}V_n=0$$

$$V_n=18\,000\cdot0{,}2^{\,n}$$ și $$\lim\limits_{n\to\infty}V_n=0$$

$$V_n=18\,000-0{,}2n$$, deci mașina ajunge la valoare nulă după $$5$$ ani

$$\lim\limits_{n\to\infty}V_n=18\,000$$

Cum calculez valoarea unui depozit după n ani?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Modelarea creșterii și descreșterii cu șiruri

Cu o progresie geometrică: dacă suma inițială este $S$ , iar dobânda anuală este de $p$ la sută, atunci după $n$ ani valoarea este $S (1 + \frac{p}{100})^{n}$ . Pentru $1000$ de lei cu $5$ la sută, după trei ani ies aproximativ $1157$ de lei, nu $1150$ , fiindcă dobânda se aplică și asupra dobânzilor deja acumulate.

Aproape orice proces măsurat la momente discrete intră într-unul dintre două tipare. Tiparul multiplicativ: la fiecare pas mărimea se înmulțește cu același factor $q$ — „crește cu $5%$ ” înseamnă $q = 1, 05$ , „scade cu $15%$ ” înseamnă $q = 0, 85$ — deci $x_{n} = x_{0} q^{n}$ , progresie geometrică. Tiparul cu aport constant: $x_{n + 1} = q x_{n} + b$ , recurență afină.

La recurența afină, $x^{*} = \frac{b}{1 - q}$ este nivelul de echilibru: valoarea la care aportul compensează exact pierderea. Pentru $∣ q ∣ < 1$ procesul tinde la $x^{*}$ indiferent de starea inițială, fiindcă $x_{n} = x^{*} + (x_{0} - x^{*}) q^{n}$ .

Capitalizarea tot mai deasă nu dă câștig nelimitat: $(1 + \frac{i}{m})^{m} \to e^{i}$ . La un credit cu rată fixă, totul se decide comparând $D_{0}$ cu $\frac{R}{i}$ : sub prag datoria se stinge, la prag stagnează, peste prag crește nemărginit.

Limita se interpretează, nu doar se calculează: limită finită nenulă înseamnă stabilizare, limita $0$ înseamnă stingere asimptotică, limita infinită înseamnă creștere fără plafon (deci un model valabil doar pe un orizont limitat). Două formulări greșite de evitat: „valoarea devine zero” (corect: scade sub orice prag fixat) și confuzia dintre limită și viteza de apropiere de ea.

De reținut

Creștere de $p$ la sută: rația $1 + \frac{p}{100}$ ; scădere: $1 - \frac{p}{100}$
Dobânda compusă: $S_{n} = S (1 + \frac{p}{100})^{n}$
$x_{n + 1} = q x_{n} + c$ cu $∣ q ∣ < 1$ se așază la $\frac{c}{1 - q}$

Greșeala tipică

Se înmulțește procentul cu numărul de ani, ca la dobânda simplă, și se folosește rezultatul drept creștere totală. La capitalizare, dobânda se adaugă la capital și produce ea însăși dobândă, deci creșterea este mai mare.

Exerciții din această mini-lecție

O sumă de $8000$ de lei este depusă cu dobânda de $5%$ pe an, capitalizată anual. Soldul după $n$ ani este:
- a) $8000 \cdot 1, 0 5^{n}$
- b) $8000 \cdot 0, 0 5^{n}$
- c) $8000 + 0, 05 n$
- d) $8000 \cdot 1, 5^{n}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $8000 \cdot 1, 0 5^{n}$

O creștere de $5%$ înseamnă înmulțirea cu $1 + 0, 05 = 1, 05$ , nu cu $0, 05$ (varianta b) ar duce soldul la zero) și nu cu $1, 5$ (varianta d) ar însemna $50%$ ). Varianta c) descrie o creștere liniară, cu $0, 05$ lei pe an. Control: $S_{10} = 8000 \cdot 1, 0 5^{10} = 13031, 16$ lei.
O mașină cumpărată cu $18000$ de euro pierde $20%$ din valoare în fiecare an. Care afirmație este adevărată?
- a) $V_{n} = 18000 \cdot 0, 8^{n}$ și $n \to \infty lim V_{n} = 0$
- b) $V_{n} = 18000 \cdot 0, 2^{n}$ și $n \to \infty lim V_{n} = 0$
- c) $V_{n} = 18000 - 0, 2 n$ , deci mașina ajunge la valoare nulă după $5$ ani
- d) $n \to \infty lim V_{n} = 18000$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $V_{n} = 18000 \cdot 0, 8^{n}$ și $n \to \infty lim V_{n} = 0$

„Pierde $20%$ ” înseamnă că rămâne $80%$ , deci factorul este $0, 8$ . Cum $∣ 0, 8 ∣ < 1$ , avem $0, 8^{n} \to 0$ și $V_{n} \to 0$ — valoarea scade sub orice prag, dar niciun termen nu este nul. Varianta c) confundă modelul multiplicativ cu unul liniar. Control: $V_{5} = 5898, 24$ euro.
Un pacient primește $60$ mg de substanță la fiecare doză, iar între două administrări organismul elimină $75%$ din cantitatea prezentă. Cantitatea din organism se stabilizează la:
- a) $60$ mg
- b) $80$ mg
- c) $240$ mg
- d) crește nemărginit
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $80$ mg

Rămâne un sfert din cantitate, deci $c_{n + 1} = 0, 25 c_{n} + 60$ : recurență afină cu $q = 0, 25$ și $b = 60$ . Nivelul de echilibru este $c^{*} = \frac{60}{1 - 0 , 25} = 80$ mg, iar $∣ q ∣ < 1$ asigură convergența spre el, indiferent de starea inițială. Cantitatea nu se acumulează periculos: rămâne mereu sub $80$ mg.

Întrebări conexe

Ce rație are șirul unei scăderi de 10 la sută pe an?

Rația este $0, 9$ , fiindcă din întreg rămâne nouă zecimi la fiecare pas. Valorile se apropie de zero, dar nu ajung niciodată acolo, ceea ce descrie bine o uzură sau o eliminare treptată.

După câți ani se dublează o sumă cu 7 la sută pe an?

După aproximativ zece ani, valoare obținută din condiția $1, 0 7^{n} = 2$ . Regula practică împarte $72$ la procent și dă tot în jur de zece, ceea ce o face o aproximare comodă pentru calcule rapide.

Ce șir descrie eliminarea unui medicament din organism?

Tot unul geometric, cu rația egală cu fracțiunea care rămâne după fiecare interval. Dacă la fiecare patru ore rămâne jumătate, atunci cantitatea din organism scade după puterile lui $\frac{1}{2}$ .

Cum modelez o populație care crește și pierde în același timp?

Cu o recurență de forma $x_{n + 1} = q x_{n} + c$ , unde $q$ dă creșterea proporțională, iar $c$ aportul fix. Un astfel de proces are un nivel spre care se așază, obținut din ecuația punctului fix.

Ce diferență practică este între creșterea liniară și cea geometrică?

Prima adaugă aceeași cantitate la fiecare pas, a doua înmulțește cu același factor. Pe termen scurt diferența pare mică, dar după câteva zeci de pași creșterea geometrică depășește orice creștere liniară.

Cum verific dacă modelul ales se potrivește cu datele?

Compari valorile prezise cu cele măsurate la câțiva pași și te uiți dacă abaterile rămân mici. Un model geometric se recunoaște după raportul aproape constant dintre termeni consecutivi.

Oamenii mai întreabă și: dobânda compusă cu șiruri · valoarea unui depozit după n ani · creștere procentuală modelată cu un șir · formula capitalizării anuale