Un model practic corect scris duce la un sistem incompatibil. În context, aceasta înseamnă:

că datele din enunț se contrazic — de regulă o eroare de măsurare sau de transcriere

că s-a greșit un calcul la rezolvarea sistemului

că soluția va ieși negativă

că sistemul are prea multe necunoscute

Un model practic duce la un sistem compatibil nedeterminat. Aceasta arată că:

informația din enunț este insuficientă, iar modelul are nevoie de o condiție suplimentară

problema are exact două soluții

s-a scris o ecuație în plus față de câte trebuia

Unde folosesc sistemele de ecuații în practică?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Modelare cu sisteme liniare

Oriunde mai multe mărimi necunoscute sunt legate prin condiții de tip sumă sau proporție: amestecuri cu concentrații date, repartizarea unui buget pe mai multe articole, echilibrarea unei reacții chimice, curenții dintr-un circuit, fluxurile dintr-o rețea de transport. Se notează necunoscutele, se scrie câte o ecuație pentru fiecare condiție din enunț, iar la final se verifică dacă valorile găsite au sens în situația descrisă.

Partea grea a unei probleme practice nu e calculul, ci traducerea. Drumul are cinci pași: notezi necunoscutele cu unitatea lor („fie $x$ numărul de rafturi", nu „fie $x$ rafturile"); cauți mărimile care se conservă — fiecare resursă consumată integral, fiecare masă totală, fiecare atom, fiecare nod de circuit dă câte o ecuație, iar numărul lor nu se alege, îl dă problema; faci controlul dimensional, adică verifici că toți termenii și membrul drept au aceeași unitate (dacă îți iese „kg = lei", ai greșit o ecuație, nu un calcul); rezolvi cu metoda potrivită; interpretezi în context.

Într-un tablou de consum, pe linii stau resursele, pe coloane produsele. La amestecuri se conservă două lucruri deodată: masa totală și masa fiecărei componente; înmulțirea ecuațiilor cu $10$ sau $100$ scapă de zecimale.

Alegerea metodei: Cramer la sisteme pătratice mici cu numere întregi; Gauss la ordinul $4$ , la coeficienți urâți sau la matrice cu multe zerouri; matricea inversă când se schimbă doar coloana $B$ ; rang și Rouché când ecuațiile nu sunt tot atâtea cât necunoscutele.

Interpretarea celor trei situații: determinat — datele descriu complet situația; incompatibil — datele se contrazic; nedeterminat — informația e insuficientă, iar contextul trebuie să adauge o condiție.

De reținut

Câte o ecuație pentru fiecare condiție din enunț
Controlul unităților arată dacă ecuația este scrisă corect
Soluția se verifică și în realitatea problemei, nu doar în ecuații

Greșeala tipică

Se scriu mai puține ecuații decât necunoscute, fiindcă o condiție din enunț a fost citită ca simplă informație. Fiecare propoziție care leagă două mărimi aduce o ecuație, iar fără ea sistemul rămâne nedeterminat.

Exerciții din această mini-lecție

Un model practic corect scris duce la un sistem incompatibil. În context, aceasta înseamnă:
- a) că s-a greșit un calcul la rezolvarea sistemului
- b) că soluția va ieși negativă
- c) că sistemul are prea multe necunoscute
- d) că datele din enunț se contrazic — de regulă o eroare de măsurare sau de transcriere
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) că datele din enunț se contrazic — de regulă o eroare de măsurare sau de transcriere

Incompatibilitatea este o proprietate a datelor, nu a calculului: două informații cer aceleiași expresii valori diferite. Într-o problemă reală, verdictul trimite înapoi la enunț — o cifră greșit citită de pe un bon, o cântărire imprecisă. Un rezultat negativ este cu totul altceva: acolo sistemul are soluție, dar ea nu are sens în context.
Un model practic duce la un sistem compatibil nedeterminat. Aceasta arată că:
- a) informația din enunț este insuficientă, iar modelul are nevoie de o condiție suplimentară
- b) problema nu are soluție
- c) problema are exact două soluții
- d) s-a scris o ecuație în plus față de câte trebuia
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) informația din enunț este insuficientă, iar modelul are nevoie de o condiție suplimentară

Nedeterminarea nu e un defect al modelului. La echilibrarea unei reacții chimice, de pildă, sistemul omogen iese simplu nedeterminat tocmai pentru că reacția se poate scrie cu orice multiplu al coeficienților; contextul adaugă condiția „cei mai mici întregi pozitivi", care nu este o ecuație liniară. La fel, într-o problemă de premii, condiția ca numerele să fie naturale reduce infinitatea de soluții la câteva variante.
Un atelier face rame și tăvi. O ramă cere $2$ m de lemn și $3$ ore de lucru, o tavă cere $5$ m și $2$ ore, iar consumul a fost exact $64$ m de lemn și $52$ de ore. S-au făcut:
- a) $8$ rame și $12$ tăvi
- b) $12$ rame și $8$ tăvi
- c) $10$ rame și $9$ tăvi
- d) $12$ rame și $10$ tăvi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $12$ rame și $8$ tăvi

Cu $x$ numărul de rame și $y$ numărul de tăvi: $2 x + 5 y = 64$ (metri) și $3 x + 2 y = 52$ (ore). Controlul dimensional confirmă ambele ecuații. Cu regula lui Cramer, $Δ = - 11$ , $Δ_{1} = - 132$ , $Δ_{2} = - 88$ , deci $x = 12$ și $y = 8$ . Verificare în enunț: $24 + 40 = 64$ m și $36 + 16 = 52$ de ore; inversarea celor două numere ar da $76$ m, deci nu se potrivește.

Întrebări conexe

Cum aleg necunoscutele într-o problemă cu amestecuri?

Iei drept necunoscute cantitățile care se caută efectiv, de obicei masele sau volumele componentelor. Alegerea altor mărimi, cum ar fi diferențele dintre ele, complică ecuațiile fără să scurteze nimic.

Cum scriu sistemul unei probleme de amestec?

O ecuație pentru cantitatea totală și una pentru substanța activă, cu concentrațiile ca factori. Dacă se amestecă $x$ litri cu $20$ la sută și $y$ litri cu $50$ la sută, a doua ecuație are forma $0, 2 x + 0, 5 y$ .

Ce ecuație scriu pentru totalul unei cantități?

Suma tuturor părților, egalată cu întregul dat în enunț. Este de obicei ecuația cea mai ușor de scris și merită pusă prima, fiindcă simplifică celelalte prin înlocuire.

Cum modelez o rețea de fluxuri cu un sistem?

Scrii, pentru fiecare nod, o ecuație care spune că intrările sunt egale cu ieșirile. Se obține un sistem omogen sau aproape omogen, de obicei nedeterminat, fiindcă rețeaua admite mai multe repartiții posibile.

De ce trebuie verificată soluția în enunț, nu doar în ecuații?

Fiindcă ecuațiile nu știu că o masă nu poate fi negativă și că un număr de obiecte trebuie să fie întreg. O soluție corectă matematic poate fi imposibilă practic, iar atunci răspunsul este că problema nu are rezolvare.

Ce fac dacă problema are mai multe necunoscute decât date?

Sistemul iese nedeterminat, deci răspunsul este o familie de soluții, nu una singură. Enunțul cere atunci de obicei condiții suplimentare, cum ar fi numere naturale sau valori minime, care restrâng familia la câteva variante.

Oamenii mai întreabă și: probleme practice cu sisteme de ecuații · unde se folosesc sistemele liniare · modelarea unei probleme cu un sistem · aplicații ale sistemelor de ecuații